Tính 1/x+√1+x^2+1/x+√1+x^2 +2 =0

Để giải phương trình

\[
\frac{1}{x} + \sqrt{1 + x^2} + \frac{1}{x} + \sqrt{1 + x^2} + 2 = 0,
\]

ta có thể viết lại như sau:

\[
2\left(\frac{1}{x} + \sqrt{1 + x^2}\right) + 2 = 0.
\]

Đưa \( 2 \) sang bên phải, ta có:

\[
2\left(\frac{1}{x} + \sqrt{1 + x^2}\right) = -2.
\]

Chia cả hai bên cho 2, ta được:

\[
\frac{1}{x} + \sqrt{1 + x^2} = -1.
\]

Chuyển \( -1 \) sang bên trái, ta có:

\[
\frac{1}{x} + \sqrt{1 + x^2} + 1 = 0.
\]

Thực hiện một số biến đổi:

\[
\sqrt{1 + x^2} = -\left(\frac{1}{x} + 1\right).
\]

Bình phương cả hai vế (lưu ý rằng ta chỉ bình phương khi đảm bảo có giá trị dương để tránh sai sót trong phương trình):

\[
1 + x^2 = \left(-\frac{1}{x} - 1\right)^2.
\]

Đặt **A = \(-\frac{1}{x} - 1\)**:

\[
1 + x^2 = \left(A\right)^2,
\]

hay

\[
1 + x^2 = \frac{1}{x^2} + 2\cdot\frac{1}{x} + 1.
\]

Rút gọn, ta được:

\[
1 + x^2 = \frac{1}{x^2} + 2\cdot\frac{1}{x} + 1.
\]
\[
x^2 = \frac{1}{x^2} + 2\cdot\frac{1}{x}.
\]

Đưa mọi thứ về một phía của dấu "=":

\[
x^4 - 2x - 1 = 0.
\]

Để giải phương trình bậc 4 này, ta có thể dùng phương pháp số (phương trình này có thể không có nghiệm chính thức). Tuy nhiên, ta có thể áp dụng biến đổi như sau:

Xét phương trình cấp 2 theo x^2:

\[
t^2 - 2t - 1 = 0 \quad \text{với } t = x^2,
\]

Giải phương trình này, ta có:

\[
t = \frac{2 \pm \sqrt{(2)^2 + 4}}{2} = 1 \pm \sqrt{2},
\]

Với \(t_1 = 1 + \sqrt{2}\) và \(t_2 = 1 - \sqrt{2}\) (điều này hợp lệ vì chỉ cần x^2 không âm).

Vì vậy:

\[
x^2 = 1 + \sqrt{2} \implies x = \pm \sqrt{1 + \sqrt{2}},
\]
hoặc
\[
x^2 = 1 - \sqrt{2} \implies x \text{ không có nghiệm thực.}
\]

Cuối cùng, nghiệm cần tìm là:

\[
x = \pm \sqrt{1 + \sqrt{2}}.
\]