Giả sử cô giáo có \( x \) cái kẹo và có \( n \) học sinh.

1. Nếu chia mỗi bạn 3 cái thì thừa 5 cái, ta có phương trình:
\[
x = 3n + 5
\]

2. Nếu chia mỗi bạn 4 cái thì thiếu 12 cái, ta có phương trình:
\[
x = 4n - 12
\]

Bây giờ, ta sẽ giải hệ phương trình này.

Từ hai phương trình trên, ta có thể thiết lập công thức:
\[
3n + 5 = 4n - 12
\]

Chuyển các số về một phía:
\[
5 + 12 = 4n - 3n
\]
\[
17 = n
\]

Vậy số học sinh \( n = 17 \).

Tiếp theo, thay \( n \) vào một phương trình để tìm \( x \):
\[
x = 3n + 5 = 3 \times 17 + 5 = 51 + 5 = 56
\]

Chúng ta cũng có thể kiểm tra phương trình thứ hai:
\[
x = 4n - 12 = 4 \times 17 - 12 = 68 - 12 = 56
\]

Vậy, cô giáo có **56 cái kẹo**.