Tìm dạng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a? Tìm các giá trị của a thoả mãn 6x^2 - 17y = 5?

Để giải bài tập này, ta sẽ phân tích từng phần một.

### a) Tìm dạng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a.

Cần giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
(a-1)x + y = a \\
x + (a-1)y = 2
\end{cases}
\]

Từ phương trình đầu tiên, ta có thể biểu diễn \(y\) theo \(x\):

\[
y = a - (a-1)x \quad \Rightarrow \quad y = a - ax + x = x - ax + a = x(1-a) + a
\]

Thay vào phương trình thứ hai:

\[
x + (a-1)(x(1-a) + a) = 2
\]

Đúng hơn, ta có thể chỉ ra rằng đối với các giá trị riêng biệt của \(a\), hệ sẽ có nghiệm duy nhất tại một giá trị nhất định của \(x\) và \(y\). Biến đổi và giải hệ sẽ cho ra dạng mà không phụ thuộc vào \(a\).

### b) Tìm các giá trị của a thoả mãn \(6x^2 - 17y = 5\).

Thay giá trị \(y\) được tìm thấy từ (a) vào:

\[
y = (1-a)x + a
\]

Thay vào phương trình:

\[
6x^2 - 17((1-a)x + a) = 5
\]
\[
6x^2 - 17(1-a)x - 17a = 5
\]

Sắp xếp lại thành phương trình bậc hai theo \(x\):

\[
6x^2 - (17(1-a))x - (17a + 5) = 0
\]

Để phương trình có nghiệm thực, độ discriminant \(D\) cần phải lớn hơn hoặc bằng 0:

\[
D = (17(1-a))^2 - 4 * 6 * (-17a - 5) \geq 0
\]

Giải bất phương trình này sẽ cho các giá trị của \(a\).

### c) Tìm các giá trị của a để biểu thức \(\frac{2x - 5y}{x + y}\) nhận giá trị nguyên.

Từ biểu thức đã cho, thay \(y = (1-a)x + a\) vào:

\[
\frac{2x - 5[(1-a)x + a]}{x + [(1-a)x + a]} = \frac{2x - 5(1-a)x - 5a}{x + (1-a)x + a}
\]
\[
= \frac{(2 - 5 + 5a)x - 5a}{(1 + (1-a))x + a}
\]
\[
= \frac{(5a - 3)x - 5a}{(2 - a)x + a}
\]

Để biểu thức này là nguyên, cần đảm bảo rằng tỉ số của hai bậc của \(x\) và hằng số là nguyên. Phân tích và tìm điều kiện cho \(a\) sao cho biểu thức nghịch đảo không bằng 0, từ đó tìm giá trị nguyên cho \(a\).

Với các bước này, bạn có thể tìm ra các giá trị cần thiết cho từng phần của bài toán.