Để tứ giác EFGH là hình chữ nhật, ta cần có điều kiện về độ dài và góc giữa các hình chiếu.

Xét đến hình bình hành ABCD:

1. Gọi \( AB = a \), \( AD = b \), \( O \) là giao điểm của các đường chéo \( AC \) và \( BD \).
2. Các điểm \( E, F, G, H \) là hình chiếu của \( O \) lên các cạnh tương ứng \( AB, BC, CD, DA \).

### Điều kiện để tứ giác EFGH là hình chữ nhật:

1. **Các cạnh đối song song**: Đối với tứ giác EFGH là hình chữ nhật, các cặp cạnh đối phải song song và bằng nhau: \( EH \parallel FG \), \( EF \parallel GH \).

2. **Các góc vuông**: Các góc tại các đỉnh \( E, F, G, H \) phải là góc vuông. Điều này cần đảm bảo rằng các hình chiếu là vuông góc với các cạnh:

- \( OE \) vuông góc với \( AB \)
- \( OF \) vuông góc với \( BC \)
- \( OG \) vuông góc với \( CD \)
- \( OH \) vuông góc với \( DA \)

### Kết luận:

Tùy vào vị trí của các cạnh và hình chiếu, để tứ giác EFGH là hình chữ nhật, hình bình hành ABCD cần có điều kiện:

- **Hình bình hành ABCD phải là hình vuông**. Điều này đảm bảo cả độ dài các cạnh và các góc đều bằng 90 độ, từ đó hình chiếu sẽ là hình chữ nhật.

Nếu ABCD chỉ là hình bình hành nhưng không phải hình vuông, EFGH sẽ không nhất thiết là hình chữ nhật.