Tìm dư khi chia f(x) cho g(x): f(x) = x^10+x^9+...+x+1; g(x) = x^2-x+1

Để tìm dư khi chia \( f(x) \) cho \( g(x) \), chúng ta sẽ sử dụng phép chia đa thức. Đầu tiên, ta viết lại \( f(x) \) như sau:

\[
f(x) = x^{10} + x^9 + ... + x + 1 = \frac{x^{11} - 1}{x - 1} \quad (x \neq 1)
\]

Bây giờ, ta sẽ sử dụng định lý dư để tìm dư của \( f(x) \) khi chia cho \( g(x) \). Nếu \( g(x) = x^2 - x + 1 \), thì bậc của \( g(x) \) là 2, vì vậy dư \( r(x) \) sẽ có dạng:

\[
r(x) = ax + b
\]

Với \( a, b \) là các hệ số cần tìm. Theo định lý chia đa thức, ta có:

\[
f(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)
\]

Arbitrarily, \( r(x) \) sẽ có dạng \( ax + b \).

Chúng ta dịch chuyển vấn đề về tìm \( r(x) \) bằng cách thay điểm vào. Để làm điều này, trước tiên ta tìm các nghiệm của \( g(x) = 0 \):

Giải phương trình:

\[
x^2 - x + 1 = 0
\]

Ta có cặp nghiệm:

\[
x = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i
\]

Gọi các nghiệm là \( \omega_1 = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \) và \( \omega_2 = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \).

Theo định lý dư, để tìm \( r(x) \), ta có thể tính trực tiếp giá trị của \( f(x) \) tại \( \omega_1 \) và \( \omega_2 \):

1. Tính \( f(\omega_1) \)
2. Tính \( f(\omega_2) \)

Với từng giá trị mang về, ta có thể thiết lập hai phương trình để xác định \( a \) và \( b \).

**Bước 1: Tính \( f(\omega_1) \)**

\[
f(\omega_1) = \omega_1^{10} + \omega_1^9 + ... + \omega_1 + 1
\]

Biểu thức này có thể được tính dễ dàng hơn nếu nhận thấy rằng \( \omega_1^3 = 1 \) (do \( \omega_1 \) là một nghiệm bậc 3 của phương trình). Do đó, hàng số lượng của \( f(\omega_1) \) là:

\[
f(\omega_1) = \frac{\omega_1^{11} - 1}{\omega_1 - 1} = \frac{1 - 1}{\omega_1 - 1} = 0
\]

**Bước 2: Tính \( f(\omega_2) \)**

Cách phân tích tương tự cho \( f(\omega_2) \):

\[
f(\omega_2) = \omega_2^{10} + \omega_2^9 + ... + \omega_2 + 1
\]

Cũng tính ra sẽ cho kết quả tương tự \( 0 \).

Còn dư là \( 0 \).

Tóm lại, dư khi chia \( f(x) \) cho \( g(x) \) là:

\[
r(x) = 0
\]

Như vậy, đáp án là dư bằng \( 0 \).