Để giải bài toán này, ta sẽ làm từng phần một.

### a) Tứ giác ABKH là hình gì? Vì sao?
Tứ giác ABKH là hình thang. Bởi vì AB và CD là hai cạnh đối song song trong hình thang cân ABCD, và khi kẻ các đường cao AH và DK, thì AH và DK cũng song song với nhau. Do đó, tứ giác ABKH có hai cặp cạnh đối song song, trong đó AB là một cạnh và HK là cạnh còn lại. Như vậy, ABKH là hình thang.

### b) Chứng minh DH = CK.
Để chứng minh DH = CK, ta sẽ sử dụng tính chất của hình thang cân. Trong hình thang cân ABCD, các đường cao AH và DK đều chia các góc tại điểm H và K thành hai góc vuông.

Khi đó, vì AB và CD song song và AD = BC, ta có:
- Triangular AHD và BKC có cạnh AH = BK và AD = BC. Hơn nữa, vì AB và CD song song nên các đoạn DH và CK cũng là các đoạn đối diện với nhau trong hai tam giác.

Chứng minh DH = CK như sau:
- Từ tam giác AHD, DH là cạnh còn lại, tương tự CK với tam giác BKC. Vì AD = BC nên DH = CK.

### c) Gọi E là điểm đối xứng với D qua H. Chứng minh tứ giác ABCE là hình bình hành.
Để chứng minh tứ giác ABCE là hình bình hành, ta sẽ chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện AB và CE, AC và BE là các cặp cạnh song song.

- Do H là trung điểm của DE (vì E là điểm đối xứng với D), nên có:
- HE = HD (cạnh đối xứng)

- Xét hai tam giác ABH và CDE, do AB // CD nên có AB = CD.
- Gọi M là trung điểm BD (thì HM = HE). Từ đó, tứ giác ABCE có các cạnh AB và CE song song và AC, BD song song, vậy tứ giác ABCE là hình bình hành.

### d) Tính diện tích tứ giác ABCD, biết AD = 6 cm, AH = 4 cm và DH = 3 cm.
Diện tích hình thang ABCD được tính bằng công thức:
\[
S = \frac{(AB + CD) \times h}{2}
\]
Trong đó \(h\) là chiều cao.

Từ bài toán, ta biết \(h = AH = 4\) cm và ta cần xác định hai cạnh AB và CD.

- AD (chiều dài bên cạnh) = 6 cm.
- DH = 3 cm => KH = DH = 3 cm (vì hình thang cân).

Bây giờ, chiều dài của AH được chia thành:
- \(AH = DH + KH \Rightarrow 4 = 3 + KH \Rightarrow KH = 1\)

Tuy nhiên, chưa có AB và CD bằng nhau, ta rất cần rõ về chiều dài chúng để tính diện tích.

Giả sử \(CD = a\) và \(AB = b\), thì diện tích của hình thang ABCD là:
\[
S = \frac{(b + a) \times 4}{2}
\]

Do chưa có số liệu cụ thể về AB và CD nên ta không thể tính chính xác diện tích, ta cần biết AB và CD rõ ràng.

Tổng quát, diện tích có thể được tính nếu biết được độ dài của hai cạnh đó. Do đó, bài toán cung cấp các thông tin điều kiện cần thiết để giải quyết.