Để tìm các đoạn thẳng BH và AC trong tam giác ABC có trung tuyến AM và đường cao AH, chúng ta thực hiện như sau:

**Thông tin đã cho:**
- AB = 15 cm
- AH = 12 cm
- HC = 16 cm

**a) Tính độ dài các đoạn thẳng BH và AC:**

Trước hết, do H là chân đường cao của AH từ A xuống BC. Chúng ta có thể tìm độ dài BH trước.

Trong tam giác AHC, ta có:

\[
HC + BH = BC
\]

Để tìm BC, ta cần biết độ dài AC. Ta có:

\[
AC = AH + HC = 12 \, cm + 16 \, cm = 28 \, cm
\]

Tiếp theo, ta sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABH:

\[
AB^2 = AH^2 + BH^2
\]
\[
15^2 = 12^2 + BH^2
\]
\[
225 = 144 + BH^2
\]
\[
BH^2 = 225 - 144 = 81
\]
\[
BH = \sqrt{81} = 9 \, cm
\]

Như vậy, ta có:
- **BH = 9 cm.**

Để tìm AC, chúng ta đã tính được:
- **AC = 28 cm.**

**b) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông và tính độ dài AM:**

Để chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông tại A, chúng ta sử dụng định lý Pythagore:

Từ các thông tin đã có, chúng ta biết rằng:
- AB^2 = AH^2 + BH^2.

Chúng ta đã tính được:
- AB = 15 cm.
- AH = 12 cm.
- BH = 9 cm.

Ta thấy:

\[
AB^2 = 15^2 = 225
\]
\[
AH^2 + BH^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225
\]

Vì vậy, chúng ta có:

\[
AB^2 = AH^2 + BH^2
\]

Điều này chứng tỏ rằng tam giác ABC là tam giác vuông tại A.

Để tính độ dài AM (trung tuyến từ A đến cạnh BC), sử dụng công thức tính độ dài trung tuyến:

\[
AM = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}
\]

Ta cần tìm BC trước, sử dụng HC và BH để dễ dàng tính:

\[
BC = BH + HC = 9 \, cm + 16 \, cm = 25 \, cm
\]
Vậy có:
- AB = 15 cm
- AC = 28 cm
- BC = 25 cm

Bây giờ áp dụng vào công thức:

\[
AM = \frac{1}{2} \sqrt{2(15^2) + 2(28^2) - 25^2}
\]
Tính các giá trị:
\[
AM = \frac{1}{2} \sqrt{2(225) + 2(784) - 625}
\]
\[
= \frac{1}{2} \sqrt{450 + 1568 - 625}
\]
\[
= \frac{1}{2} \sqrt{1393}
\]

Cuối cùng, tính AM:

\[
AM \approx \frac{1}{2} \times 37.32 \approx 18.66 \, cm
\]

Kết quả:
- **BH = 9 cm, AC = 28 cm, AM \approx 18.66 cm**.