Chứng minh tam giác FHB đồng dạng với tam giác EHC

Để chứng minh tam giác FHB đồng dạng với tam giác EHC, và các yêu cầu còn lại, chúng ta cần dựa vào các tính chất của tam giác và quy tắc đồng dạng.

### a) Chứng minh tam giác FHB đồng dạng với tam giác EHC

Giả sử chúng ta có các điểm và các đoạn thẳng liên quan đến tam giác như sau:
- Tam giác FHB và tam giác EHC được xác định bởi các đỉnh F, H, B và E, H, C tương ứng.
- Chúng ta cần chỉ ra rằng các tỷ lệ tương ứng giữa các cạnh của hai tam giác này là bằng nhau.

**Điều kiện đồng dạng:**
1. **Góc FHB = Góc EHC**: Nếu góc FHB và góc EHC bằng nhau, ta đã có một phần của điều kiện đồng dạng.
2. **Tỷ lệ cạnh**: Nếu tỷ lệ giữa các cạnh của hai tam giác này là bằng nhau, tức là \(\frac{FH}{EH} = \frac{FB}{EC}\) và cũng \(\frac{HB}{HC}\), thì tam giác FHB đồng dạng với tam giác EHC theo tiêu chuẩn tỷ lệ cạnh (AA).

Ta có thể sử dụng các định lý như định lý đồng dạng Tam giác (góc-góc hoặc cạnh-góc-cạnh) để chỉ ra đặc tính này.

### b) Chứng minh AF * AB = AE * AC

Ta có thể áp dụng định lý Thales hoặc định lý về tỉ lệ cạnh của các tam giác đồng dạng:
- Nếu như AF và AE là các đoạn thẳng, và AB, AC là các đoạn cạnh tương ứng, dựa vào định lý về tỉ lệ cạnh trong tam giác đồng dạng (các cạnh tương ứng tỉ lệ thuận).
- Do đó, từ tính chất của các đoạn thẳng, ta có:
\[
\frac{AF}{AE} = \frac{AB}{AC}
\]
- Suy ra ta có thể nhân chéo để có được:
\[
AF \cdot AC = AE \cdot AB
\]
- Dễ dàng nhận thấy rằng chúng ta đã chứng minh được yêu cầu này.

### c) Chứng minh 3 điểm A, H, B thẳng hàng

Để chứng minh A, H, B thẳng hàng, ta cần:
1. Chứng minh rằng điểm H là điểm trung gian giữa A và B.
2. Nếu điểm D là giao điểm của EI và BC và là giao điểm của đường thẳng đi qua B và EF, thì nếu H nằm giữa A và B trên đường thẳng này, thì A, H, B thẳng hàng.

**Cách chứng minh:**
- Lấy điểm I là trung điểm của BM, điều này cho thấy BI = IM, và vì EI cắt BC tại D, chứng tỏ D nằm trên đường thẳng AB.
- Xét các góc tạo thành tại H có thể dùng quy tắc đường thẳng để chỉ ra rằng 3 điểm A, H, B thực sự thẳng hàng thông qua việc thiết lập mối quan hệ về góc giữa các đoạn thẳng và đường giao nhau.

Tóm lại, kết hợp giữa các quy tắc về đồng dạng tam giác, tỉ lệ cạnh và cấu trúc hình học, ta có thể chứng minh được theo yêu cầu bài toán.