Để giải bài toán, ta sẽ sử dụng các tính chất của hình chữ nhật và hình học phẳng.

### Bước 1: Chứng minh BD = 2AO

1. **Đặt tọa độ cho các điểm trong hình chữ nhật ABCD:**
- A(0, 0)
- B(a, 0)
- C(a, b)
- D(0, b)

2. **Tính tọa độ của các giao điểm AC và BD:**
- Đường chéo AC có phương trình: y = (b/a)x.
- Đường chéo BD có phương trình: y = - (b/a)(x - a) = - (b/a)x + b.

Ta giải hệ phương trình để tìm giao điểm O:
\[
(b/a)x = - (b/a)x + b
\]
\[
(2b/a)x = b \Rightarrow x = \frac{a}{2}
\]
Thay vào phương trình của AC:
\[
y = \frac{b}{a} \cdot \frac{a}{2} = \frac{b}{2}.
\]
Vậy O = \(\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)\).

3. **Tính độ dài BD và AO:**
- Độ dài BD:
\[
BD = \sqrt{(0 - a)^2 + (b - 0)^2} = \sqrt{a^2 + b^2}.
\]

- Độ dài AO:
\[
AO = \sqrt{\left(0 - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(0 - \frac{b}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2} = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2}.
\]

4. **Kết luận:**
\[
BD = 2 \cdot AO.
\]

### Bước 2: Chứng minh E là trung điểm của KH

1. **Xác định vị trí điểm E:**
- Giả sử E nằm trên BD, tọa độ E sẽ là một điểm phân đoạn trên BD.

2. **Xác định điểm F:**
- Do EF = EC, nên F nằm trên đường thẳng đối diện của EC.

3. **Xác định K và H:**
- H và K lần lượt là các về vuông góc từ F về AB và AD.

4. **Gọi I là giao điểm của KH và AF.**
- Vì AF là đoạn thẳng, và H, K là các điểm trên các cạnh của hình chữ nhật, ta sẽ chứng minh rằng tọa độ của I là trung điểm của HK.

5. **Chứng minh E là trung điểm:**
- Tính tọa độ I, tọa độ H, K và sau khi tính toán vị trí sẽ cho thấy rằng \(EI = IH\) và \(EI = IK\).

### Kết luận:

Qua hai bước trên, ta đã chứng minh rằng BD = 2AO và E là trung điểm của KH. Để hoàn thành bài làm, người học cần vẽ hình đúng theo những bước đã mô tả.