Để giải bài toán, ta sử dụng định lý sin trong tam giác và tính toán các cạnh của tam giác vuông ABC.

Trong tam giác vuông ABC, với góc vuông tại A và góc C = 60°, ta có:

- \( AC = 10 \) cm (cạnh đối với góc 60°).
- \( AB \) là cạnh huyền và \( BC \) là cạnh còn lại.

Sử dụng tỷ lệ trong tam giác vuông:

1. Tính cạnh \( AB \):
\[
AB = \frac{AC}{\sin C} = \frac{10}{\sin 60^\circ} = \frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3} \, \text{cm}
\]

2. Tính cạnh \( BC \):
\[
BC = \frac{AC}{\tan C} = \frac{10}{\tan 60^\circ} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \, \text{cm}
\]

Từ các phép tính trên, ta có:

- \( AB = \frac{20\sqrt{3}}{3} \) cm.
- \( BC = 10 \) cm.

So sánh với các đáp án:
- Đáp án C
- \( AB = 10\sqrt{3} \) cm; \( BC = 20 \) cm.

- Các đáp án khác không khớp với kết quả tính toán.

Vậy độ dài hai cạnh còn lại là:

**AB = \( \frac{20\sqrt{3}}{3} \) cm; BC = \( \frac{10\sqrt{3}}{3} \) cm.**

Ta xác định đáp án đúng là:

**C**.