Cho góc xOy nhọn. Trên tia Ox lấy A và B (A nằm giữa O và B). Trên tia Oy lấy C và D (C nằm giữa O và D). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AC, BC, BD, AD

Để giải bài toán này, ta cần phân tích từng yêu cầu.

### a) Chứng minh tứ giác NMPQ là hình bình hành.

1. **Xác định tọa độ các điểm:**
- Gọi O là gốc tọa độ (0, 0).
- A có tọa độ (a, 0), B có tọa độ (b, 0) với \( 0 < a < b \).
- C có tọa độ (0, c), D có tọa độ (0, d) với \( 0 < c < d \).

2. **Tính tọa độ các điểm M, N, P, Q:**
- \( M \) là trung điểm của \( AC \): \( M\left(\frac{a}{2}, \frac{c}{2}\right) \)
- \( N \) là trung điểm của \( BC \): \( N\left(\frac{b}{2}, \frac{c}{2}\right) \)
- \( P \) là trung điểm của \( BD \): \( P\left(\frac{b}{2}, \frac{d}{2}\right) \)
- \( Q \) là trung điểm của \( AD \): \( Q\left(\frac{a}{2}, \frac{d}{2}\right) \)

3. **Chứng minh rằng tứ giác NMPQ đối song song:**
- Đoạn MN song song với đoạn PQ:
- Độ cao: \( y = \frac{c}{2} \) (MN) và \( y = \frac{d}{2} \) (PQ).
- Đoạn NP song song với đoạn MQ:
- Tương tự như trên.

=> Vì các cặp đoạn thẳng đối diện đều song song và bằng nhau nên tứ giác NMPQ là hình bình hành.

### b) Khi \( xOy = 90^\circ \) thì tứ giác NMPQ là hình gì?

Khi \( xOy = 90^\circ \), thì \( A, B \) nằm trên trục Ox, \( C, D \) nằm trên trục Oy. Do đó, NMPQ trở thành hình vuông nếu \( AB = CD \). Nếu không, tứ giác là hình chữ nhật.

### c) Tìm điều kiện của AB và CD để tứ giác NMPQ là hình thoi.

Để tứ giác NMPQ là hình thoi, các cạnh NQ và MP phải bằng nhau và MN phải song song với PQ.

**Điều kiện:**
- \( AB = CD \) (các đoạn này phải có độ dài bằng nhau).

Khi có điều kiện này, tứ giác sẽ là hình thoi.