Cho hình thang ABCD ( AB //CD), biết AB = 4 cm, DC = 10 cm và AD = BC. Chứng minh ABCD là hình thang cân

Để chứng minh hình thang ABCD là hình thang cân, chúng ta cần chỉ ra rằng độ dài hai cạnh bên AD và BC bằng nhau hoặc các góc ở hai đáy của hình thang bằng nhau.

Bước 1: Gọi AD = BC = x (theo giả thuyết).

Bước 2: Kẻ đường cao từ điểm A xuống cạnh DC tại điểm H và từ điểm B xuống cạnh DC tại điểm K. Do đó, AH và BK là hai đường cao và hai hình chữ nhật AHCB, BKDC.

Bước 3: Một điểm quan trọng là đoạn đường thẳng nối hai điểm H và K sẽ đi song song với hai cạnh đáy AB và DC, và chiều dài của đoạn này sẽ là đoạn nối giữa hai đường cao AH và BK.

Bước 4: Ta có chiều dài của đoạn DC là 10 cm, AB là 4 cm, do đó độ dài đoạn HK sẽ được tính bằng:

\[
HK = DC - AB = 10 - 4 = 6 \text{ cm}.
\]

Bước 5: Trong tam giác AHD và tam giác BKC, ta có:

- \( AH = BK \) (cả hai đều là đường cao).
- \( AD = BC = x \).

Bước 6: Theo định lý Pythagore:

Trong tam giác AHD:
\[
AD^2 = AH^2 + DH^2,
\]
Trong tam giác BKC:
\[
BC^2 = BK^2 + CK^2.
\]

Vì \( AD = BC \) và \( AH = BK \), chúng ta có:

\[
DH + CK = HK,
\]

với \( DH + CK = 6 \text{ cm} \) (là đoạn thẳng HK).

Bước 7: Do các cạnh tương ứng và chiều cao là bằng nhau, chúng ta có thể xác nhận rằng \( AD = BC \).

Kết luận, từ những lý lẽ trên, ta có thể chứng minh rằng hình thang ABCD có hai cạnh bên bằng nhau, nghĩa là ABCD là hình thang cân.