Giải phương trình với phương pháp đặt ẩn phụ:

Để giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ, chúng ta sẽ đặt ẩn mới để đơn giản hóa hệ phương trình.

Gọi:
\[
u = \frac{x}{x+2} \quad \text{và} \quad v = \frac{y}{y+1}
\]

Sau đó, ta sẽ biến đổi các phương trình trong hệ:

1. Phương trình đầu tiên:
\[
\frac{2x}{x+2} - \frac{3y}{y+1} = -4
\]
Thay \( u \) và \( v \):
\[
2u - 3v = -4
\]

2. Phương trình thứ hai:
\[
\frac{x}{x+2} + \frac{2y}{y+1} = \frac{1}{3}
\]
Thay \( u \) và \( v \):
\[
u + 2v = \frac{1}{3}
\]

Giờ đây, hệ phương trình của chúng ta trở thành:
\[
\begin{cases}
2u - 3v = -4 \quad (1) \\
u + 2v = \frac{1}{3} \quad (2)
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này:

Từ phương trình (2), ta có thể tìm \( u \):
\[
u = \frac{1}{3} - 2v
\]

Thay biểu thức cho \( u \) từ (2) vào (1):
\[
2\left(\frac{1}{3} - 2v\right) - 3v = -4
\]

Giải phương trình này:
\[
\frac{2}{3} - 4v - 3v = -4
\]
\[
\frac{2}{3} - 7v = -4
\]
\[
-7v = -4 - \frac{2}{3}
\]
Chuyển −4 về cùng mẫu:
\[
-4 = -\frac{12}{3} \Rightarrow -4 - \frac{2}{3} = -\frac{12 + 2}{3} = -\frac{14}{3}
\]
Nên ta có:
\[
-7v = -\frac{14}{3} \Rightarrow v = \frac{14}{3 \cdot 7} = \frac{14}{21} = \frac{2}{3}
\]

Thay \( v = \frac{2}{3} \) vào phương trình (2) để tìm \( u \):
\[
u + 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}
\]
\[
u + \frac{4}{3} = \frac{1}{3}
\]
\[
u = \frac{1}{3} - \frac{4}{3} = -1
\]

Chúng ta có được:
\[
u = -1 \quad \text{và} \quad v = \frac{2}{3}
\]

Giờ đây, thay ngược trở lại để tìm \( x \) và \( y \):

Từ \( u = \frac{x}{x+2} = -1 \):
\[
x = -1(x + 2) \Rightarrow x = -x - 2 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -1
\]

Từ \( v = \frac{y}{y+1} = \frac{2}{3} \):
\[
3y = 2(y + 1) \Rightarrow 3y = 2y + 2 \Rightarrow y = 2
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
\[
(x, y) = (-1, 2)
\]