Để giải phương trình \(\sin(a + b + 2c) = -\sin c\), ta có thể sử dụng một vài thuộc tính và công thức lượng giác.

Trước tiên, ta biết rằng \(\sin(-x) = -\sin x\). Vì vậy, ta có thể viết lại phương trình như sau:

\[
\sin(a + b + 2c) = \sin(-c)
\]

Ta có thể sử dụng công thức phương trình lượng giác. Nhắc lại rằng, nếu \(\sin A = \sin B\), thì ta có 2 nghiệm chính:

1. \( A = B + 2k\pi \) (với \(k \in \mathbb{Z}\))
2. \( A = \pi - B + 2k\pi \) (với \(k \in \mathbb{Z}\))

Áp dụng vào phương trình của chúng ta:

1. \( a + b + 2c = -c + 2k\pi \)
\[
\Rightarrow a + b + 3c = 2k\pi
\]

2. \( a + b + 2c = \pi + c + 2k\pi \)
\[
\Rightarrow a + b + c = \pi + 2k\pi \Rightarrow a + b + c = (2k + 1)\pi
\]

Vậy chúng ta có hai hệ quả chính từ phương trình đã cho:

1. \( a + b + 3c = 2k\pi \)
2. \( a + b + c = (2k + 1)\pi \)

Tùy vào điều kiện cụ thể về \(a\), \(b\), và \(c\), ta có thể tìm ra hành trình mà các biến này có thể tham gia trong các chu kỳ khác nhau. Do đó, đây là cách tổng quát để giải phương trình đã cho.