Hệ phương trình bạn đưa ra có dạng như sau:

\[
\begin{cases}
\frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 3 \quad (1) \\
\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 4 \quad (2)
\end{cases}
\]

Để giải hệ phương trình này, ta có thể biến đổi các phương trình để tìm giá trị của \(x\) và \(y\).

### Bước 1: Biến đổi phương trình (1)

Từ phương trình (1):

\[
\frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 3
\]

Ta có thể chuyển về dạng:

\[
\frac{1}{x} = 3 - \frac{4}{y}
\]

### Bước 2: Biến đổi phương trình (2)

Tương tự, với phương trình (2):

\[
\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 4
\]

Ta có thể chuyển về dạng:

\[
\frac{2}{x} = 4 - \frac{3}{y}
\]

### Bước 3: Thay thế

Từ phương trình đầu tiên, ta thay \(\frac{1}{x}\) vào phương trình thứ hai.

### Bước 4: Giải hệ phương trình

Giả sử đặt \(\frac{1}{x} = a\) và \(\frac{1}{y} = b\):

\[
\begin{cases}
a + 4b = 3 \\
2a + 3b = 4
\end{cases}
\]

Giải hệ này để tìm \(a\) và \(b\):

1. Từ phương trình đầu tiên: \(a = 3 - 4b\)
2. Thay vào phương trình thứ hai:

\[
2(3 - 4b) + 3b = 4 \\
6 - 8b + 3b = 4 \\
6 - 5b = 4 \\
-5b = -2 \\
b = \frac{2}{5}
\]

Thay giá trị của \(b\) vào phương trình (1):

\[
a + 4\cdot\frac{2}{5} = 3 \\
a + \frac{8}{5} = 3 \\
a = 3 - \frac{8}{5} = \frac{15}{5} - \frac{8}{5} = \frac{7}{5}
\]

### Bước 5: Tính \(x\) và \(y\)

Từ \(a\) và \(b\):

\[
\frac{1}{x} = \frac{7}{5} \implies x = \frac{5}{7}
\]

\[
\frac{1}{y} = \frac{2}{5} \implies y = \frac{5}{2}
\]

### Kết quả:

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

\[
x = \frac{5}{7}, \quad y = \frac{5}{2}
\]