Để tính giá trị của \( C = \sin 2a - \sin a \cos a + \cos 2a \) với \( \cot a = \sqrt{5} \), trước tiên chúng ta cần tìm các giá trị của \( \sin a \) và \( \cos a \).

Từ \( \cot a = \frac{\cos a}{\sin a} = \sqrt{5} \), chúng ta có thể đặt:

\[
\cos a = \sqrt{5} \sin a
\]

Sử dụng định lý Pythagore, ta có:

\[
\sin^2 a + \cos^2 a = 1
\]

Thay \(\cos a\) vào phương trình:

\[
\sin^2 a + (\sqrt{5} \sin a)^2 = 1
\]

\[
\sin^2 a + 5\sin^2 a = 1
\]

\[
6 \sin^2 a = 1 \implies \sin^2 a = \frac{1}{6} \implies \sin a = \frac{1}{\sqrt{6}}
\]

Từ đó, ta tính được giá trị của \( \cos a \):

\[
\cos a = \sqrt{5} \sin a = \sqrt{5} \cdot \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{30}}{6}
\]

Tiếp theo, chúng ta sẽ tính các giá trị sau:

1. \(\sin 2a = 2 \sin a \cos a\)
2. \(\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a\)

### Tính \(\sin 2a\):

\[
\sin 2a = 2 \sin a \cos a = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}} = 2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{6} = \frac{2 \sqrt{5}}{6} = \frac{\sqrt{5}}{3}
\]

### Tính \(\cos 2a\):

\[
\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = \left(\frac{\sqrt{30}}{6}\right)^2 - \left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)^2 = \frac{30}{36} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} - \frac{6}{36} = \frac{5}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
\]

### Tính C:

Bây giờ ta có các giá trị của \(\sin 2a\) và \(\cos 2a\), ta thế vào công thức \( C \):

\[
C = \sin 2a - \sin a \cos a + \cos 2a
\]

Ta đã tính được:

- \(\sin 2a = \frac{\sqrt{5}}{3}\)
- \(\sin a \cos a = \sin a \cdot \cos a = \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{5}}{6}\)
- \(\cos 2a = \frac{2}{3}\)

Thay vào định nghĩa của \(C\):

\[
C = \frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{\sqrt{5}}{6} + \frac{2}{3}
\]

Chuyển đổi tất cả về cùng mẫu số:

\[
C = \frac{2\sqrt{5}}{6} - \frac{\sqrt{5}}{6} + \frac{4}{6} = \frac{(2\sqrt{5} - \sqrt{5} + 4)}{6} = \frac{\sqrt{5} + 4}{6}
\]

Vậy kết quả cuối cùng là:

\[
C = \frac{\sqrt{5} + 4}{6}
\]