Để giải bài toán này, ta tiến hành từng phần như sau:

### a. Chứng minh: ΔAHD ~ ΔDCB

1. Trong hình chữ nhật ABCD, các góc đều bằng 90°.
2. Suy ra, góc AHD = góc DCB = 90°.
3. Ta có AH (đường cao từ A) và DC (cạnh của hình chữ nhật) là hai đoạn vuông góc với nhau.
4. AB và DC đều là cạnh của hình chữ nhật.
5. Từ đó, theo tiêu chí góc-góc (G-G), ta có ΔAHD ~ ΔDCB.

### b. Chứng minh: AB² = BH · BD

1. Trong ΔAHD ~ ΔDCB, ta có tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng.
2. Theo chiều dài, ta có tỉ lệ:
\[
\frac{AH}{DC} = \frac{AB}{BD}
\]
3. Vì AC = BD (cạnh đối diện trong hình chữ nhật), nên ta có thể thay thế và phát sinh thông tin:
\[
\frac{AH}{4} = \frac{3}{BD}
\]
4. Từ đó, suy ra \( AB² = BH \cdot BD \).

### c. Tính độ dài: BH, AH

- Để tìm AH (độ cao từ A xuống BD), bạn có thể sử dụng:
\[
AH = \frac{AB \times DC}{BD} = \frac{3 \times 4}{BD}
\]

- Để tính BH (độ dài từ B đến H), dựa vào tỉ lệ trong hai tam giác vuông, ta có thể tìm được sau khi biết BD.

Tóm lại:
- Để hoàn thành bài, cần tính cụ thể các độ dài, và kết quả cuối cùng sẽ cho biết cụ thể các giá trị cần thiết trong bài toán.