Để chứng minh bất đẳng thức \( AD + BC > CD - AB \) trong hình thang \( ABCD \) với \( AB \parallel CD \) và \( AB < CD \), ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình thang và tính chất của các đoạn thẳng.

1. **Gọi các đoạn thẳng**:
- Gọi độ dài của các đoạn thẳng: \( AB = a \), \( CD = b \), \( AD = c \), \( BC = d \).
- Theo giả thiết, ta có \( a < b \).

2. **Xét đoạn thẳng trong hình thang**:
- Bởi vì \( AB \parallel CD \), ta có thể kẻ đường cao từ \( A \) và \( B \) xuống đường thẳng \( CD \) tại hai điểm lần lượt là \( A' \) và \( B' \). Gọi chiều cao từ các điểm này xuống là \( h \).

3. **Sử dụng định lý khoảng cách**:
- Ta có: \( A'B' = b - a \) (đoạn nối hai chân đường cao).
- Theo định lý tam giác, ta có \( AD = c \) và \( BC = d \). Theo định lý về khoảng cách (định lý Tam giác), tổng độ dài của hai cạnh bên này sẽ lớn hơn độ dài của đoạn thẳng nối hai điểm chân đường cao.

Do đó, ta có bất đẳng thức:
\[
c + d > b - a
\]

4. **Kết luận**:
- Từ bất đẳng thức trên, ta có:
\[
AD + BC > CD - AB
\]

Vậy, đã chứng minh được rằng trong hình thang \( ABCD \), ta có \( AD + BC > CD - AB \).