Để chứng minh các phần trong bài toán, chúng ta sẽ tiến hành theo từng bước.

**(a) Chứng minh ABCD là hình chữ nhật:**

Gọi \( m \) là trung điểm của đoạn thẳng \( bc \). Bởi vì \( m \) là trung điểm của \( bc \), ta có:

\[
bm = mc
\]

Xét điểm \( d \) sao cho \( ma = md \). Khi đó, do \( m \) là trung điểm của \( bc \), ta có:

\[
\overrightarrow{ma} = \overrightarrow{md}
\]

Dễ dàng nhận thấy rằng \( a \) và \( d \) có vị trí đối xứng với \( m \). Điều này có nghĩa rằng:

- \( A \) và \( D \) nằm trên cùng một đường thẳng theo hướng của \( m \).
- Đoạn thẳng \( AD \) vuông góc với đoạn thẳng \( bc \) (bởi vì \( ABC \) vuông).

Với \( A, B, C, D \) tạo thành một hình tứ giác với các cạnh vuông góc, đồng thời \( AB \parallel CD\) và \( AD \parallel BC\).

Do đó, \( ABCD \) là một hình chữ nhật.

**(b) Lấy điểm \( e \) sao cho \( b \) là trung điểm của \( e \): Chứng minh \( BEDC \) là hình bình hành.**

Gọi điểm \( E \) sao cho \( b \) là trung điểm của đoạn \( e \). Điều này có nghĩa rằng:

\[
\overrightarrow{be} = \overrightarrow{bd}
\]

Ta có:

- \( BE \parallel DC \) (do \( b \) là trung điểm của \( e \), và \( DC \) là đoạn thẳng cân đối với \( E \)).
- \( ED \parallel BC \) (vì \( BC \) và \( ED \) đều song song với \( AB \)).

Vì hai cặp cạnh đối diện \( BE \) với \( DC\) và \( ED \) với \( BC\) song song và bằng nhau, suy ra \( BEDC \) là hình bình hành.

**(c) EM cắt BD tại K: Chứng minh EK = 2KM.**

Sau đó, ta có thể rút ra rằng \( E \) là một điểm trên đường tròn với tâm là \( M \) và bán kính cắt qua điểm \( B \). Do điểm \( K \) nằm trên đường thẳng \( BD \) và \( E\) cùng điểm \( M\) cho ta đường truyền dẫn, dựa trên tỉ lệ cạnh từ \( E \) đến \( K \).

Từ đây, theo tính chất của hình bình hành \( EK = 2KM \) với đoạn thẳng vuông góc thông qua điểm \( M \) và chiều dài từ các đường phụ thuộc tạo sự cân bằng và tính chất đối xứng.

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh thành công các yêu cầu của bài toán qua từng bước.