Để chứng minh biểu thức \( A \) có giá trị là số nguyên mà không sử dụng phép biến đổi chứng minh (MTCT), ta thực hiện các bước sau đây:

Biểu thức được cho là:

\[
A = \sqrt{(1 + 2\sqrt{2})^2} - \sqrt{(1 - 2\sqrt{2})^2}
\]

**Bước 1:** Tính từng căn bậc hai.

1. Tính \( \sqrt{(1 + 2\sqrt{2})^2} \):
\[
\sqrt{(1 + 2\sqrt{2})^2} = 1 + 2\sqrt{2}
\]
(vì \( 1 + 2\sqrt{2} \) là một số dương)

2. Tính \( \sqrt{(1 - 2\sqrt{2})^2} \):
\[
\sqrt{(1 - 2\sqrt{2})^2} = |1 - 2\sqrt{2}|
\]
Ta cần kiểm tra xem \( 1 - 2\sqrt{2} \) có phải số âm hay không. Tính giá trị:
\[
2\sqrt{2} \approx 2 \times 1.414 \approx 2.828 \Rightarrow 1 - 2\sqrt{2} < 0
\]
Do đó:
\[
|1 - 2\sqrt{2}| = -(1 - 2\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} - 1
\]

**Bước 2:** Thay vào biểu thức \( A \):
\[
A = (1 + 2\sqrt{2}) - (2\sqrt{2} - 1)
\]

**Bước 3:** Rút gọn:
\[
A = 1 + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + 1 = 2
\]

Vậy:

\[
A = 2
\]

**Kết luận:** Như vậy, được chứng minh rằng \( A \) có giá trị là số nguyên, cụ thể là số 2.