Tìm tọa độ vectơ u

Để tìm tọa độ vectơ \(\vec{u}\) thỏa mãn các điều kiện \(\vec{u} \perp \vec{a}\), \(\vec{u} \perp \vec{b}\), và \(\vec{u} \cdot \vec{x} = -6\), chúng ta sẽ làm theo các bước sau:

1. **Tìm vectơ \(\vec{u}\) thỏa mãn điều kiện vuông góc với \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\)**:

- Giả sử \(\vec{u} = (u_1, u_2, u_3)\).
- Điều kiện vuông góc với \(\vec{a} = (2, 3, -1)\) dẫn đến:
\[
\vec{u} \cdot \vec{a} = 2u_1 + 3u_2 - u_3 = 0 \quad (1)
\]
- Điều kiện vuông góc với \(\vec{b} = (-1, -2, 3)\) dẫn đến:
\[
\vec{u} \cdot \vec{b} = -u_1 - 2u_2 + 3u_3 = 0 \quad (2)
\]

2. **Giải hệ phương trình (1) và (2)**:

Từ (1):
\[
u_3 = 2u_1 + 3u_2 \quad (3)
\]

Thay (3) vào (2):
\[
-u_1 - 2u_2 + 3(2u_1 + 3u_2) = 0
\]
\[
-u_1 - 2u_2 + 6u_1 + 9u_2 = 0
\]
\[
5u_1 + 7u_2 = 0
\]
Từ đó suy ra:
\[
u_1 = -\frac{7}{5}u_2 \quad (4)
\]

3. **Thay (4) vào (3) để tìm \(u_3\)**:
\[
u_3 = 2\left(-\frac{7}{5}u_2\right) + 3u_2 = -\frac{14}{5}u_2 + 3u_2 = -\frac{14}{5}u_2 + \frac{15}{5}u_2 = \frac{1}{5}u_2
\]

Do đó, ta có:
\[
\vec{u} = \left(-\frac{7}{5}u_2, u_2, \frac{1}{5}u_2\right)
\]

4. **Áp dụng điều kiện \(\vec{u} \cdot \vec{x} = -6\)**:

Với \(\vec{x} = (2, -2, 1)\):
\[
\vec{u} \cdot \vec{x} = -\frac{7}{5}u_2 \cdot 2 + u_2 \cdot (-2) + \frac{1}{5}u_2 \cdot 1 = -\frac{14}{5}u_2 - 2u_2 + \frac{1}{5}u_2 = -\frac{14}{5}u_2 - \frac{10}{5}u_2 + \frac{1}{5}u_2 = -\frac{23}{5}u_2
\]
Để thỏa mãn điều kiện:
\[
-\frac{23}{5}u_2 = -6 \implies u_2 = \frac{30}{23}
\]

5. **Tính các tọa độ còn lại**:
- Từ (4):
\[
u_1 = -\frac{7}{5} \cdot \frac{30}{23} = -\frac{42}{23}
\]
- Và từ (3):
\[
u_3 = \frac{1}{5} \cdot \frac{30}{23} = \frac{6}{23}
\]

6. **Kết luận**:
Tọa độ vectơ \(\vec{u}\) là:
\[
\vec{u} = \left(-\frac{42}{23}, \frac{30}{23}, \frac{6}{23}\right)
\]