Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các công thức liên quan đến diện tích tam giác.

### a) Tính diện tích tam giác ABC

Gọi diện tích tam giác ABC là \( S_{ABC} \).

- Theo bài ra, ta có điểm D trên cạnh AC sao cho \( CD = \frac{1}{2} AD \). Điều này có thể hiểu là \( AD = x \) và \( CD = \frac{x}{2} \).
- Như vậy, tổng chiều dài AC là \( AC = AD + CD = x + \frac{x}{2} = \frac{3x}{2} \).
- Diện tích tam giác BCD là \( S_{BCD} = 20 \, \text{cm}^2 \).

Ta thấy rằng diện tích tam giác ABC có thể tính bằng tổng diện tích tam giác BCD và diện tích của tam giác ABD.

- Diện tích của tam giác ABD cũng liên quan đến chiều cao chung của tam giác ABC.
- Gọi chiều cao từ B xuống AC là \( h \). Thì diện tích của tam giác ABD là:

\[
S_{ABD} = \frac{1}{2} \times AD \times h = \frac{1}{2} \times x \times h
\]

- Tương tự:

\[
S_{BCD} = \frac{1}{2} \times CD \times h = \frac{1}{2} \times \frac{x}{2} \times h = \frac{x \cdot h}{4}
\]

Biết \( S_{BCD} = 20 \):

\[
\frac{x \cdot h}{4} = 20 \implies x \cdot h = 80
\]

- Diện tích của tam giác ABC sẽ là:

\[
S_{ABC} = S_{ABD} + S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot h + 20 = \frac{1}{2} \cdot x \cdot h + 20
\]

Thay \( x \cdot h = 80 \):

\[
S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot 80 = 40
\]

Vậy ta có:

\[
S_{ABC} = 40 + 20 = 60 \, \text{cm}^2
\]

### b) Tính diện tích tam giác BEDC

Gọi diện tích tam giác BEDC là \( S_{BEDC} \).

- Diện tích của tam giác BCD đã biết là 20 cm².
- Diện tích của hình chữ nhật BEDC bao gồm tam giác BCD và tam giác ABD.

Vì vậy, diện tích của BEDC chính là diện tích ABC trừ đi diện tích ABD:

\[
S_{BEDC} = S_{ABC} - S_{ABD} = 60 - 40 = 20 \, \text{cm}^2
\]

### Kết quả

a) Diện tích tam giác ABC là \( 60 \, \text{cm}^2 \).

b) Diện tích tam giác BEDC là \( 20 \, \text{cm}^2 \).