Để giải phương trình lượng giác sau:

\[
\frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x = \sin \frac{\pi}{5}
\]

đầu tiên, chúng ta có thể viết lại phương trình này dưới dạng tỉ lệ của các hàm lượng giác. Ta nhận thấy rằng \(\frac{1}{2} \cos x\) và \(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x\) có thể được kết hợp thành một hàm sin hoặc cos bằng cách sử dụng các hệ số tương ứng.

Cụ thể, ta có thể biến đổi như sau:

\[
\frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x = \sin \frac{\pi}{5}
\]

Chúng ta nhận thấy rằng hệ số của \(\cos x\) và \(\sin x\) là \(\frac{1}{2}\) và \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), tương ứng với \(\cos \frac{\pi}{3}\) và \(\sin \frac{\pi}{3}\) (vì \(\frac{1}{2} = \cos \frac{\pi}{3}\) và \(\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin \frac{\pi}{3}\)). Do đó, ta có thể viết lại biểu thức này như sau:

\[
\cos \frac{\pi}{3} \cos x + \sin \frac{\pi}{3} \sin x = \sin \frac{\pi}{5}
\]

Theo định lý tổng của sin, chúng ta có:

\[
\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \sin \frac{\pi}{5}
\]

Từ phương trình trên, ta có hai trường hợp:

1. \(x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{5} + 2k\pi\) với \(k \in \mathbb{Z}\)
2. \(x + \frac{\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{5} + 2k\pi\) với \(k \in \mathbb{Z}\)

Giải từng trường hợp:

### Trường hợp 1:

\[
x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{5} + 2k\pi
\]
\[
x = \frac{\pi}{5} - \frac{\pi}{3} + 2k\pi
\]

Chúng ta cần tìm mẫu số chung để trừ hai phân số này:

\[
\frac{\pi}{5} = \frac{3\pi}{15} \quad \text{và} \quad \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{15}
\]
\[
x = \frac{3\pi}{15} - \frac{5\pi}{15} + 2k\pi = \frac{-2\pi}{15} + 2k\pi
\]

### Trường hợp 2:

\[
x + \frac{\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{5} + 2k\pi
\]
\[
x = \pi - \frac{\pi}{5} - \frac{\pi}{3} + 2k\pi
\]

Tìm mẫu số chung cho trường hợp này:

\[
\pi = \frac{15\pi}{15}, \quad \pi - \frac{\pi}{5} = \frac{15\pi}{15} - \frac{3\pi}{15} = \frac{12\pi}{15}\]
\]
\(\frac{12\pi}{15} - \frac{5\pi}{15} = \frac{7\pi}{15}\)

Vậy ta có:

\[
x = \frac{7\pi}{15} + 2k\pi
\]

### Kết luận

Tổng hợp lại, nghiệm tổng quát của phương trình là:

\[
x = -\frac{2\pi}{15} + 2k\pi \quad \text{và} \quad x = \frac{7\pi}{15} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

Đây là các nghiệm của phương trình đã cho.