Cho ΔABC vuông tại A, đường tròn O nội tiếp có bán kính r

Để xác định đường thẳng d đi qua điểm O (trung điểm của đoạn thẳng nối hai chân đường cao) sao cho diện tích của tam giác $\Delta AMN$ nhỏ nhất, ta cần xem xét các yếu tố liên quan đến hình học của tam giác vuông $\Delta ABC$.

**Ta có các thông số sau:**

- Tam giác $\Delta ABC$ vuông tại $A$.
- $AB = c$, $AC = b$, với $BC = a = \sqrt{b^2 + c^2}$.
- Bán kính của đường tròn nội tiếp $r$, được tính bởi công thức:

$$r = \frac{AB + AC - BC}{2} = \frac{b + c - a}{2}.$$

**Diện tích tam giác $\Delta AMN$** tính bằng công thức:

$$S_{AMN} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AN \cdot \sin(\angle MAN).$$

**Để diện tích $S_{AMN}$ nhỏ nhất:**

Đầu tiên, nhận thấy rằng diện tích sẽ nhỏ nếu cả $AM$ và $AN$ đều có xu hướng nhỏ. Nếu đường thẳng $d$ là một đường thẳng đi qua O và cắt $AB$ tại M và $AC$ tại N, thì qua một chọn lựa hợp lý, ta có thể dự đoán được rằng đường thẳng d sẽ phải tạo góc vuông với cạnh $BC$ để diện tích tam giác AMN là nhỏ nhất. Điều này đồng nghĩa với việc $M$ và $N$ là điểm gần điểm A nhất trên 2 cạnh $AB$ và $AC$.

**Yêu cầu nhỏ nhất:**

1. Đường thẳng $d$ sẽ vuông góc với cạnh $BC$.
2. Cụ thể hơn, ta hãy đưa O đến trung điểm của đoạn $BC$ (điều mà không làm mất tính vuông góc của $\Delta ABC$).
3. Khi đường thẳng đi qua O cắt $AB$ ở điểm M và cắt $AC$ ở điểm N sẽ giúp cho diện tích tam giác trở nên nhỏ hơn.

**Tính diện tích tối thiểu:**

Khi cả hai chiều M và N đều đạt giá trị cực tiểu, ta có thể đưa ra:

- Diện tích tối thiểu của $\Delta AMN$:

$$S_{AMN} = \frac{1}{2} \cdot r \cdot r = \frac{r^2}{2}.$$

Từ công thức bán kính trong tam giác vuông, thay $r = \frac{b + c - a}{2}$:

$$S_{AMN \text{min}} = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{b+c-a}{2} \right)^2.$$

Cần nhớ rằng $b, c, a$ là các cạnh của tam giác.

Cuối cùng, ta có thể thay các giá trị cụ thể cho $a, b, c$ vào để tính ngày được diện tích nhỏ nhất của tam giác $\Delta AMN$. Tóm lại, đường thẳng d đi qua O cắt $AB$ và $AC$ tại hai điểm sao cho $M, N$ gần điểm A sẽ giúp diện tích nhỏ nhất cho $\Delta AMN$.