Cho ΔABC vuông tại A, đường tròn O nội tiếp có bán kính r

Để xác định đường thẳng d đi qua điểm O (trung điểm của đoạn thẳng nối hai chân đường cao) sao cho diện tích của tam giác \( \Delta AMN \) nhỏ nhất, ta cần xem xét các yếu tố liên quan đến hình học của tam giác vuông \( \Delta ABC \).

**Ta có các thông số sau:**

- Tam giác \( \Delta ABC \) vuông tại \( A \).
- \( AB = c \), \( AC = b \), với \( BC = a = \sqrt{b^2 + c^2} \).
- Bán kính của đường tròn nội tiếp \( r \), được tính bởi công thức:

\[
r = \frac{AB + AC - BC}{2} = \frac{b + c - a}{2}.
\]

**Diện tích tam giác \( \Delta AMN \)** tính bằng công thức:

\[
S_{AMN} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AN \cdot \sin(\angle MAN).
\]

**Để diện tích \( S_{AMN} \) nhỏ nhất:**

Đầu tiên, nhận thấy rằng diện tích sẽ nhỏ nếu cả \( AM \) và \( AN \) đều có xu hướng nhỏ. Nếu đường thẳng \( d \) là một đường thẳng đi qua O và cắt \( AB \) tại M và \( AC \) tại N, thì qua một chọn lựa hợp lý, ta có thể dự đoán được rằng đường thẳng d sẽ phải tạo góc vuông với cạnh \( BC \) để diện tích tam giác AMN là nhỏ nhất. Điều này đồng nghĩa với việc \( M \) và \( N \) là điểm gần điểm A nhất trên 2 cạnh \( AB \) và \( AC \).

**Yêu cầu nhỏ nhất:**

1. Đường thẳng \( d \) sẽ vuông góc với cạnh \( BC \).
2. Cụ thể hơn, ta hãy đưa O đến trung điểm của đoạn \( BC \) (điều mà không làm mất tính vuông góc của \( \Delta ABC \)).
3. Khi đường thẳng đi qua O cắt \( AB \) ở điểm M và cắt \( AC \) ở điểm N sẽ giúp cho diện tích tam giác trở nên nhỏ hơn.

**Tính diện tích tối thiểu:**

Khi cả hai chiều M và N đều đạt giá trị cực tiểu, ta có thể đưa ra:

- Diện tích tối thiểu của \( \Delta AMN \):

\[
S_{AMN} = \frac{1}{2} \cdot r \cdot r = \frac{r^2}{2}.
\]

Từ công thức bán kính trong tam giác vuông, thay \( r = \frac{b + c - a}{2} \):

\[
S_{AMN \text{min}} = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{b+c-a}{2} \right)^2.
\]

Cần nhớ rằng \( b, c, a \) là các cạnh của tam giác.

Cuối cùng, ta có thể thay các giá trị cụ thể cho \( a, b, c \) vào để tính ngày được diện tích nhỏ nhất của tam giác \( \Delta AMN \). Tóm lại, đường thẳng d đi qua O cắt \( AB \) và \( AC \) tại hai điểm sao cho \( M, N \) gần điểm A sẽ giúp diện tích nhỏ nhất cho \( \Delta AMN \).