Để chứng minh hai bất đẳng thức đã cho, ta sẽ sử dụng một số định lý trong bất đẳng thức như Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và Bất đẳng thức AM-GM.

### a) Chứng minh:
\[ 2(a^2 + b^2) \geq (a + b)^2 \]

**Chứng minh:**
Bắt đầu từ vế phải:

\[
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
\]

Ta cần chứng minh:

\[
2(a^2 + b^2) \geq a^2 + 2ab + b^2
\]

Điều này tương đương với việc chứng minh:

\[
a^2 + b^2 \geq 2ab
\]

Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:

\[
\frac{a^2 + b^2}{2} \geq \sqrt{a^2 b^2} \implies a^2 + b^2 \geq 2ab
\]

Do đó, bất đẳng thức a) được chứng minh.

### b) Chứng minh:
\[ 3(a^2 + b^2 + c^2) \geq (a + b + c)^2 \geq 3(ab + bc + ca) \]

**Chứng minh:**

**Bất đẳng thức trái:**
Ta có

\[
(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc)
\]

Vậy ta cần chứng minh:

\[
3(a^2 + b^2 + c^2) \geq a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc)
\]

Đây tương đương với việc chứng minh:

\[
2(a^2 + b^2 + c^2) \geq 2(ab + ac + bc)
\]

Chia cả hai vế cho 2, ta có:

\[
a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + ac + bc
\]

Điều này đúng theo bất đẳng thức AM-GM.

**Bất đẳng thức phải:**
Ta có

\[
(a+b+c)^2 \geq 3(ab + ac + bc)
\]

Chia cả hai vế cho 3, ta chứng minh điều này bằng cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

\[
(a + b + c)^2 \geq 3 \left( \frac{(a+b+c)^2}{3} \right) = 3(ab + ac + bc)
\]

Do đó, bất đẳng thức b) cũng đã được chứng minh.

Như vậy, cả hai bất đẳng thức đều đã được chứng minh.