Để giải bài toán đã cho, ta sẽ làm theo từng yêu cầu:

### a) Rút gọn P

Cho biểu thức:
\[
P = \left( \frac{\sqrt{x-2}}{x-1} \cdot \frac{\sqrt{x+2}}{x+2\sqrt{x+1}} \cdot \frac{2}{x^2 - 2x + 1} \right)
\]

#### Bước 1: Tìm các điều kiện xác định
- Từ \(\sqrt{x-2}\), cần \(x \geq 2\).
- Từ \(\sqrt{x+2}\), luôn hợp lệ với \(x \geq 0\).
- Từ \(\sqrt{x+1}\), luôn hợp lệ với \(x \geq 0\).
- Từ \(\frac{2}{x^2 - 2x + 1}\), cần \(x^2 - 2x + 1 \neq 0\), tức là \(x \neq 1\).

Từ các điều kiện trên, \(x\) cần thỏa mãn: \(x \geq 2\).

#### Bước 2: Rút gọn biểu thức
- \(x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2\).

Do đó, ta có:
\[
P = \frac{\sqrt{x-2} \cdot \sqrt{x+2} \cdot 2}{(x-1) \cdot (x+2\sqrt{x+1}) \cdot (x-1)^2}
= \frac{2\sqrt{(x-2)(x+2)}}{(x-1)^3 (x+2\sqrt{x+1})}
\]

### b) Tìm các giá trị của \(x\) để \(P > 0\)

Khi \(x \geq 2\):
- \(\sqrt{x-2} \geq 0\)
- \(\sqrt{x+2} > 0\)
- \((x-1)^3 > 0\) khi \(x > 1\), điều này luôn đúng vì \(x \geq 2\).
- \(x + 2\sqrt{x + 1} > 0\) vì \(x \geq 2\).

Vậy \(P > 0\) khi \(x \geq 2\).

### c) Tìm GTLN của \(P\) và giá trị tương ứng của \(x\)

Ta cần khảo sát hàm số \(P(x)\) trên khoảng \(x \geq 2\):
- Xét giới hạn khi \(x\) tiến tới vô cùng: \(P(x)\) có xu hướng về \(0\) vì mẫu tăng nhanh hơn tử.
- Tại \(x = 2\), tính giá trị của \(P\):
\[
P(2) = \frac{2\sqrt{(2-2)(2+2)}}{(2-1)^3(2 + 2\sqrt{3})} = \frac{0}{1(2 + 2\sqrt{3})} = 0.
\]

Do đó, hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 2\) với \(P(2) = 0\).

### Kết luận
- a) \(P = \frac{2\sqrt{(x-2)(x+2)}}{(x-1)^3 (x+2\sqrt{x+1})}\)
- b) \(P > 0\) khi \(x \geq 2\).
- c) GTLN của \(P\) là \(0\) tại \(x = 2\).