Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ các đường cao BD và CE. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và DE. Vẽ MH ⊥ AB, MK ⊥ AC. Chứng minh rằng tứ giác HNKM là hình thoi

Để chứng minh rằng tứ giác HNKM là hình thoi, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của tứ giác HNKM đều song song và có độ dài bằng nhau.

1. **Chứng minh MN // HK**:
- Do M là trung điểm của BC và N là trung điểm của DE, nên theo định lý trung tuyến, ta có:
- MN = 1/2 DE (vì M và N là trung điểm).
- Hình thang ABC có hai góc A bằng nhau (do ABC là tam giác cân tại A), nên góc BAE = góc CAD.
- Do đó, đoạn thẳng MN song song với đoạn thẳng HK, và MN // HK.

2. **Chứng minh NH = MK**:
- Đường cao BD vuông góc với AC, nên NH vuông góc với AC.
- Tương tự, MK vuông góc với AB.
- Vì tam giác ABC là tam giác cân tại A, nên độ dài các đoạn vuông góc HY và KX (với Y và X lần lượt là chân vuông góc từ H và K xuống AB và AC) sẽ bằng nhau, tức là NH = MK.

Kết luận:
Vậy tứ giác HNKM có hai cặp cạnh đối diện vừa song song vừa bằng nhau, do đó HNKM là hình thoi.