C/m với mọi x thì x^4-x^3+1/4 > 0

Để chứng minh bất đẳng thức \( x^4 - x^3 + \frac{1}{4} > 0 \) với mọi \( x \), ta có thể xem xét hàm số \( f(x) = x^4 - x^3 + \frac{1}{4} \).

Trước tiên, ta tính giá trị của hàm số tại một số điểm thử:

1. Với \( x = 0 \):
\[
f(0) = 0^4 - 0^3 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4} > 0
\]

2. Với \( x = 1 \):
\[
f(1) = 1^4 - 1^3 + \frac{1}{4} = 1 - 1 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4} > 0
\]

3. Với \( x = -1 \):
\[
f(-1) = (-1)^4 - (-1)^3 + \frac{1}{4} = 1 + 1 + \frac{1}{4} = 2.25 > 0
\]

Tiếp theo, để chứng minh giá trị này luôn dương với mọi \( x \), ta xét đạo hàm bậc nhất của \( f(x) \) để tìm các điểm cực trị:

\[
f'(x) = 4x^3 - 3x^2
\]
Factor ra ngoài:
\[
f'(x) = x^2(4x - 3)
\]
Đặt \( f'(x) = 0 \):
\[
x^2(4x - 3) = 0
\]
Từ đó, ta có các nghiệm:
\[
x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{3}{4}
\]

Tiếp theo, ta tính giá trị của \( f(x) \) tại các điểm này:
1. Tại \( x = 0 \):
\[
f(0) = \frac{1}{4}
\]

2. Tại \( x = \frac{3}{4} \):
\[
f\left( \frac{3}{4} \right) = \left(\frac{3}{4}\right)^4 - \left(\frac{3}{4}\right)^3 + \frac{1}{4}
\]
Tính từng phần:
\[
\left(\frac{3}{4}\right)^4 = \frac{81}{256}, \quad \left(\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{27}{64} = \frac{108}{256}
\]
Vậy:
\[
f\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{81}{256} - \frac{108}{256} + \frac{64}{256} = \frac{37}{256} > 0
\]

Bây giờ ta xem xét giới hạn của hàm \( f(x) \) khi \( |x| \to \infty \):
- Khi \( x \to \infty \) hoặc \( x \to -\infty \), \( f(x) \) được định hình bởi \( x^4 \), do đó \( f(x) \to +\infty \).

Từ tất cả các phân tích trên, ta thấy rằng:
- Hàm \( f(x) \) luôn dương tại các điểm kiểm tra và không có điểm cực tiểu âm nào trong miền số thực.

Vì vậy, ta có thể kết luận rằng:
\[
x^4 - x^3 + \frac{1}{4} > 0 \quad \text{với mọi } x \in \mathbb{R}.
\]