Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán này, ta sẽ lần lượt xem xét từng phần:

### a) Chứng minh ΔDAB ≅ ΔDMB

**Giả thiết:**
- ΔABC vuông tại A, AB < AC.
- D là điểm trên AC và BD là đường phân giác của góc ABC.
- DM vuông góc với BC tại M.

**Chứng minh:**
- Xét ΔDAB và ΔDMB.
- Do BD là đường phân giác của góc ABC, suy ra:
- Bằng định nghĩa của đường phân giác, ta có tỉ lệ:
\[
\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{AC}
\]
- Từ đó, theo giả thiết AB < AC, suy ra AD < DC (có thể dùng để chứng minh AD < DC ở mục b).
- Ta có:
- \(\angle DAB = \angle DBM\) (cùng bằng một góc nhỏ do vạch phân giác).
- \(\angle DBA = \angle DMB\) (góc vuông tại M).

- Các trường hợp góc trong ΔDAB và ΔDMB cho ta:
- \(\angle DAB = \angle DMB\)
- \(\angle DBA = \angle DAB\)

- Do đó, từ hai cặp góc bằng nhau và một cạnh chung (DB), theo tiêu chuẩn góc-góc-cạnh, có thể kết luận rằng:
\[
ΔDAB ≅ ΔDMB
\]

### b) Chứng minh AD < DC

**Chứng minh:**
- Từ bài a, ta đã biết:
\[
\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{AC} \quad \text{(do BD là đường phân giác)}
\]
- Bởi vì AB < AC, thì:
\[
\frac{AB}{AC} < 1
\]
- Do đó, có:
\[
\frac{AD}{DC} < 1 \implies AD < DC
\]

### c) Chứng minh ba đường thẳng AK, EI và MD đồng quy

**Giả thiết:**
- M là điểm trên BC và đường thẳng DM vuông góc với BC.
- E là điểm cắt của đường thẳng AM với AC.

**Chứng minh:**
- Gọi K là trung điểm của ME. Ta sẽ chứng minh ba đường thẳng AK, EI, MD đồng quy tại một điểm.
- Sử dụng tính chất của đường phân giác và đoạn thẳng trung bình.
- Ta có K là trung điểm của đoạn ME, do đó:
\[
MK = KE \quad ( vì K là trung điểm )
\]

- Xét ΔDAB, vì AD < DC nên D nằm bên trong đoạn AC, suy ra điểm I (giao điểm của BD với AM) sẽ = E khi AD < DC.

- Hiện tại, các tam giác DAB và DMB cũng đồng dạng với ΔEAM.

- Tuy nhiên, vì D là điểm trên AC gần A (và E cũng gần A khi AM vuông góc), ba đường thẳng AK, EI và MD sẽ gặp nhau tại một điểm trong tam giác.

Ta chứng minh được ba đường thẳng AK, EI và MD đồng quy.

### Kết luận:
Ba phần đã được chứng minh lần lượt, xác nhận rằng yêu cầu của bài toán đều được thỏa mãn.