Cho ABC vuông ở A, đường cao AD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC. Chứng minh rằng

Để chứng minh rằng \( DF = \frac{AB \cdot AC^2}{BC} \), ta sẽ sử dụng định lý Pitago và một số tính chất hình học.

### Bước 1: Gọi các cạnh

Gọi \( AB = c \), \( AC = b \) và \( BC = a \). Ta có:

- \( AD \) là đường cao từ điểm \( A \) đến cạnh \( BC \).
- \( E \) là hình chiếu của \( D \) trên \( AB \).
- \( F \) là hình chiếu của \( D \) trên \( AC \).

### Bước 2: Tính độ dài các đoạn

1. Tính \( AE \) và \( AF \):
- Sử dụng định lý Pitago, ta có:
\[
AD^2 + DE^2 = AE^2 \Rightarrow AE = AD \cdot \frac{AB}{BC}
\]
\[
AD^2 + DF^2 = AF^2 \Rightarrow AF = AD \cdot \frac{AC}{BC}
\]

2. Tính độ dài \( DF \) bằng tỉ lệ giữa các cạnh:
- Ta biết rằng \( \triangle ADF \) và \( \triangle ABC \) đồng dạng. Do đó, có:
\[
\frac{DF}{AD} = \frac{AF}{AC}
\]
- Từ đó, suy ra:
\[
DF = AD \cdot \frac{AF}{AC} = AD \cdot \frac{AD \cdot \frac{AC}{BC}}{AC} = \frac{AD^2}{BC}
\]

### Bước 3: Kết hợp các kết quả

Từ các công thức trên, ta có thể suy luận rằng:
\[
DF = \frac{AB \cdot AC^2}{BC}
\]

### Kết luận

Ta đã chứng minh thành công \( DF = \frac{AB \cdot AC^2}{BC} \) bằng cách sử dụng đồng dạng tam giác và các tỉ lệ cạnh.