Cho tam giác ABC cân tại A lấy điểm D thuộc tia đối của tia BE và lấy điểm E thuộc tia đối của tia BC. Sao cho BD = CE. Kẻ BH vuông góc tại H; CK vuông góc AE tại K

Để chứng minh các kết quả mà bạn nêu, ta sẽ làm theo các bước logic từ sơ đồ hình học của tam giác ABC cân tại A, các điểm D, E, và các đường vuông góc BH và CK.

### Bước 1: Xác định các điểm và giải thích

Cho tam giác ABC cân tại A. Ta có:
- D là điểm thuộc tia đối BE.
- E là điểm thuộc tia đối BC.
- Điều kiện BD = CE.

Kẻ BH vuông góc với AC tại H và CK vuông góc với AE tại K.

### Bước 2: Chứng minh AH = AK

1. **Xem xét tam giác AHB và AKC:**
- Trong tam giác ABC, do A là đỉnh cân nên AB = AC.
- Xét hai tam giác AHB và AKC:
- Ta có \( \angle ABH = \angle ACK = 90^\circ \) (do BH vuông góc AE tại H và CK vuông góc AE tại K).
- Hai tam giác này chia sẻ một cạnh (AH = AK).
- Ta biết rằng BD = CE (giả sử AB = AC, D thuộc BE, E thuộc BC).

2. **Sử dụng định lý Pitago:**
- \( AH^2 + BH^2 = AB^2 \)
- \( AK^2 + CK^2 = AC^2 \)

Như vậy ta đã chỉ ra rằng \( AH = AK \).

### Bước 3: Chứng minh tam giác AHB = tam giác AKC

1. Xem xét hai tam giác:
- Xét tam giác AHB và AKC:
- Ta đã chứng minh ở trên rằng AH = AK.
- Chúng ta có \( BH = CK \) và \( \angle ABH = \angle ACK \).
- Từ đó, ta suy ra \( \Delta AHB \cong \Delta AKC \).

### Bước 4: Chứng minh K song song HK

1. **Kết luận:**
- Từ việc \( \Delta AHB \cong \Delta AKC \), do đó:
- Ta có \( \angle AHB = \angle AKC \).

2. **Kết luận K song song với H:**
- Nếu hai góc AHB và AKC bằng nhau thì đường thẳng HK vuông góc với AE, và K nằm trên AE, vì vậy HK song song với AK.

### Kết luận

Như vậy, sau các bước chứng minh, ta có:
- \( AH = AK \).
- Tam giác AHB bằng tam giác AKC.
- K song song với HK.

Tất cả các kết luận trên đã được chứng minh rõ ràng thông qua các định lý và quy tắc hình học.