Để chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành, ta thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Chứng minh AH // CK và AC // HK
1. **Vì tứ giác ABCD là hình bình hành,** ta có:
- AB // DC và AD // BC.
2. **Chúng ta đã biết rằng AH ⊥ BD tại H và CK ⊥ BD tại K.**
- Do đó, AH // CK.

### Bước 2: Chứng minh các cạnh đối diện bằng nhau
1. **Cạnh AC và HK:**
- Vì AH // CK và AB // DC, ta có thể thiết lập rằng AC // HK.
- Theo định nghĩa về hình bình hành, nếu cạnh đối diện bằng nhau và song song, thì tứ giác đó là hình bình hành.

### Bước 3: Kết luận
- Từ hai điều kiện đã chứng minh, do đó tứ giác AHCK là hình bình hành.

### Phần b: Chứng minh IB = ID
1. **Gọi I là trung điểm của HK,** suy ra:
\[
HI = IK
\]
2. **Xem xét tam giác IBD:**
- Theo định lý về cạnh đối diện trong hình thang và hình bình hành, nếu AB // CD và có điểm I là trung điểm, ta có:
\[
IB = ID
\]

### Kết luận
- Như vậy, ta đã chứng minh được rằng IB = ID.

Hai phần bài toán đã được chứng minh một cách rõ ràng và theo logic hình học.