Để thực hiện phép chia đa thức \((x^4 + 2x^3 + x - 25)\) cho \((x^2 + 5)\), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp chia đa thức.

**Bước 1: Chia bậc cao nhất của đa thức bị chia cho bậc cao nhất của đa thức chia.**
Chia \(x^4\) (bậc cao nhất của \(x^4 + 2x^3 + x - 25\)) cho \(x^2\) (bậc cao nhất của \(x^2 + 5\)):
\[
\frac{x^4}{x^2} = x^2
\]

**Bước 2: Nhân đa thức chia với kết quả vừa tìm được và trừ đi.**
Nhân \(x^2\) với \((x^2 + 5)\):
\[
x^2 \cdot (x^2 + 5) = x^4 + 5x^2
\]

Bây giờ, lấy \(x^4 + 2x^3 + x - 25\) trừ đi \(x^4 + 5x^2\):
\[
(x^4 + 2x^3 + x - 25) - (x^4 + 5x^2) = 2x^3 - 5x^2 + x - 25
\]

**Bước 3: Tiếp tục lặp lại quy trình cho đa thức còn lại.**
Chia bậc cao nhất của đa thức còn lại (\(2x^3\)) cho bậc cao nhất của đa thức chia (\(x^2\)):
\[
\frac{2x^3}{x^2} = 2x
\]

Nhân \(2x\) với \((x^2 + 5)\):
\[
2x \cdot (x^2 + 5) = 2x^3 + 10x
\]

Trừ đi:
\[
(2x^3 - 5x^2 + x - 25) - (2x^3 + 10x) = -5x^2 - 9x - 25
\]

**Bước 4: Tiếp tục với phần còn lại.**
Chia bậc cao nhất của đa thức còn lại (\(-5x^2\)) cho bậc cao nhất của đa thức chia (\(x^2\)):
\[
\frac{-5x^2}{x^2} = -5
\]

Nhân \(-5\) với \((x^2 + 5)\):
\[
-5 \cdot (x^2 + 5) = -5x^2 - 25
\]

Trừ đi:
\[
(-5x^2 - 9x - 25) - (-5x^2 - 25) = -9x
\]

Bây giờ ta không thể chia được nữa vì bậc của đa thức còn lại (\(-9x\)) nhỏ hơn bậc của đa thức chia (\(x^2\)).

**Kết quả cuối cùng:**
\[
\text{Quotient: } x^2 + 2x - 5
\]
\[
\text{Remainder: } -9x
\]

Do đó, kết quả của phép chia là:
\[
\frac{x^4 + 2x^3 + x - 25}{x^2 + 5} = x^2 + 2x - 5 - \frac{9x}{x^2 + 5}
\]