Để giải hệ phương trình đã cho:

\[
\begin{cases}
(x+y)(x-1) = (x-y)(x+1) + 2xy \\
(y-x)(y+1) = (y+x)(y-2) - 2xy
\end{cases}
\]

Ta sẽ bắt đầu từ phương trình đầu tiên.

### Bước 1: Giải Phương Trình Thứ Nhất

Phương trình đầu tiên là:

\[
(x+y)(x-1) = (x-y)(x+1) + 2xy
\]

Mở rộng cả hai bên:

Bên trái:

\[
(x+y)(x-1) = x^2 - x + xy - y = x^2 + xy - x - y
\]

Bên phải:

\[
(x-y)(x+1) + 2xy = (x^2 + x - yx - y) + 2xy = x^2 + x - yx - y + 2xy = x^2 + x + xy - y
\]

Dẫn đến phương trình:

\[
x^2 + xy - x - y = x^2 + x + xy - y
\]

Giản ước hai bên:

\[
-x = x
\]

Điều này suy ra:

\[
-2x = 0 \implies x = 0
\]

### Bước 2: Thay vào Phương Trình Thứ Hai

Thay \( x = 0 \) vào phương trình thứ hai:

\[
(y - x)(y + 1) = (y + x)(y - 2) - 2xy
\]

Suy ra:

\[
y(y + 1) = y(y - 2) - 0
\]

Mở rộng:

\[
y^2 + y = y^2 - 2y
\]

Giản ước:

\[
y + 2y = 0 \implies 3y = 0 \implies y = 0
\]

### Kết quả

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

\[
(x, y) = (0, 0)
\]

### Kiểm tra lại kết quả

- Với \( x = 0 \) và \( y = 0 \):
- Phương trình đầu tiên:
\((0 + 0)(0 - 1) = (0 - 0)(0 + 1) + 2(0)(0)\) \(\Rightarrow 0 = 0\)
- Phương trình thứ hai:
\((0 - 0)(0 + 1) = (0 + 0)(0 - 2) - 2(0)(0)\) \(\Rightarrow 0 = 0\)

Vậy cả hai phương trình đều thỏa mãn.

**Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình là \( (0, 0) \).**