Tìm m để song song với (d’); Tìm m để cắt Ox tại A, cắt Oy tại B sao cho ∠BAO = 60°

Để giải bài toán, ta thực hiện từng yêu cầu theo thứ tự.

### a) Tìm \( m \) để đường thẳng \( (d) \) song song với \( (d') \)

1. **Đường thẳng \( (d) \)** có dạng:
\[ y = (m-2)x + 3 \]
- Hệ số góc của \( (d) \) là \( m - 2 \).

2. **Đường thẳng \( (d') \)** có dạng:
\[ y = -m^2x + 1 \]
- Hệ số góc của \( (d') \) là \( -m^2 \).

3. **Điều kiện để hai đường thẳng song song** là hệ số góc của chúng bằng nhau:
\[ m - 2 = -m^2 \]

4. **Giải phương trình**:
\[ m^2 + m - 2 = 0 \]
- Áp dụng công thức nghiệm bậc 2:
\[ m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \]
- Nghiệm:
- \( m_1 = 1 \)
- \( m_2 = -2 \)

### b) Tìm \( m \) để cắt \( Ox \) tại \( A \), cắt \( Oy \) tại \( B \) sao cho \( \angle BAO = 60^\circ \)

1. **Gọi tọa độ điểm cắt**:
- Cắt \( Ox \) tại \( A(a, 0) \) và cắt \( Oy \) tại \( B(0, b) \).

2. **Tìm tọa độ các điểm**:
- Tọa độ \( A(a, 0) \) cho \( y = 0 \) trong phương trình đường thẳng \( (d) \):
\[ 0 = (m-2)a + 3 \implies a = \frac{3}{2 - m} \]

- Tọa độ \( B(0, b) \) cho \( x = 0 \):
\[ b = 3 \]

3. **Tính góc \( \angle BAO \)** sử dụng công thức góc giữa hai đường thẳng:
- Hệ số góc \( BA = \frac{b - 0}{0 - a} = \frac{3}{-\frac{3}{2-m}} = -\frac{3(2-m)}{3} = -(2-m) \)
- Hệ số góc \( OA = 0 + a \) cho \( m - 2 \).

4. **Sử dụng tan góc**:
\[ \tan(60^\circ) = \sqrt{3} \]
- Ta có:
\[ \left| \frac{-(2 - m) - 0}{1 + (2 - m) \cdot 0} \right| = \sqrt{3} \]

5. **Giải phương trình** tìm \( m \):
- Cụ thể:
\[ |-(2 - m)| = \sqrt{3} \]
- Giải cho hai trường hợp:
1. \( -(2 - m) = \sqrt{3} \)
2. \( -(2 - m) = -\sqrt{3} \)

- Từ đó tìm được hai giá trị cho \( m \).

Cuối cùng sẽ có kết quả cho \( m \) trong cả hai trường hợp.