Giải hệ phương trình (đặt ẩn phụ)

Để giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
(x + 3)^2 - 2y^3 = 6 \quad (1) \\
3(x + 2)^2 + 5y^3 = 7 \quad (2)
\end{cases}
\]

Chúng ta sẽ đặt ẩn phụ. Gọi:

\[
u = (x + 3)^2 \quad và \quad v = y^3
\]

Phương trình (1) trở thành:

\[
u - 2v = 6 \quad (3)
\]

Phương trình (2) cần chuyển đổi về \(u\) và \(v\).

Từ \(u = (x + 3)^2\), ta có:

\[
x + 2 = (x + 3) - 1 \implies (x + 2)^2 = (u - 1)^2 = u^2 - 2u + 1
\]

Thay vào phương trình (2):

\[
3((u - 1)^2) + 5v = 7 \implies 3(u^2 - 2u + 1) + 5v = 7
\]

Phương trình này trở thành:

\[
3u^2 - 6u + 3 + 5v = 7 \implies 3u^2 - 6u + 5v = 4 \quad (4)
\]

Giờ đây, ta giải hệ phương trình (3) và (4):

\[
\begin{cases}
u - 2v = 6 \quad (3) \\
3u^2 - 6u + 5v = 4 \quad (4)
\end{cases}
\]

Từ phương trình (3), ta có:

\[
v = \frac{u - 6}{2} \quad (5)
\]

Thay (5) vào (4):

\[
3u^2 - 6u + 5\left(\frac{u - 6}{2}\right) = 4
\]

Giải phương trình này:

\[
3u^2 - 6u + \frac{5u - 30}{2} = 4
\]

Nhân hai vế với 2 để bỏ dấu phân số:

\[
6u^2 - 12u + 5u - 30 = 8
\]

\[
6u^2 - 7u - 38 = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm:

\[
u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-38)}}{2 \cdot 6}
\]

\[
= \frac{7 \pm \sqrt{49 + 912}}{12} = \frac{7 \pm \sqrt{961}}{12} = \frac{7 \pm 31}{12}
\]

Tính ra các giá trị của \(u\):

1. \(u_1 = \frac{38}{12} = \frac{19}{6}\)
2. \(u_2 = \frac{-24}{12} = -2\) (không hợp lệ vì \(u\) là bình phương)

Giá trị hợp lệ là \(u = \frac{19}{6}\).

Thay lại vào phương trình (5):

\[
v = \frac{\frac{19}{6} - 6}{2} = \frac{\frac{19}{6} - \frac{36}{6}}{2} = \frac{-\frac{17}{6}}{2} = -\frac{17}{12} \text{ (không hợp lệ vì } v \text{ là khối lập phương)}
\]

Vì vậy, ta quay lại kiểm tra các bước tính toán và phương trình. Phương trình bậc 2 có thể đưa đến tính toán phức tạp và có thể mất dấu âm.

Thực hiện lại các bước:

Từ \((3)\) và (4):

\[
u - 2v = 6 \Rightarrow v = \frac{u - 6}{2}
\]

\[
3u^2 - 6u + 5\left(\frac{u - 6}{2}\right) = 4 \Rightarrow
6u^2 - 12u + 5u - 30 = 8
\]
\[
6u^2 - 7u - 38 = 0
\]

Kiểm tra nghiệm lại là chính xác. Thay \(u = (x + 3)^2\) để tìm lại \(x\) và dạng thấp hơn có thể khác đi hơn là lặp vào khối lập phương cho \(y^3\).

Thực tế khi tính toán thấy không hợp lý, yêu cầu bạn kiểm tra lại, hoặc tôi sẵn lòng giúp các bước phía sau hay thực hành được rõ hơn cho bạn.