Để giải bài toán này, ta sẽ đi từng phần một như đã đề ra.

**a. Chứng minh AK là tia phân giác của góc A.**

Trong tam giác \( ABD \), ta có:

- \( AB \parallel CD \) (vì hình thang)
- \( AD + BC = CD \) (theo giả thiết)

Gọi \( K \) là điểm trên đoạn thẳng \( CD \) sao cho \( KD = AD \).

Ta có:

- Từ \( A \) vẽ đoạn thẳng \( AK \).
- Do \( AB \parallel CD \), nên góc \( DAB = AKD \).

Áp dụng định lý Sin trong tam giác \( AKD \) và \( ABC \):

Ta có:
\[
\frac{AK}{AD} = \frac{AB}{AC}
\]

Vì \( KD = AD \), từ đó suy ra rằng \( AK \) chia góc \( A \) thành hai phần bằng nhau.

Vậy suy ra \( AK \) là tia phân giác của góc \( A \).

**b. Chứng minh KC = BC.**

Từ điều kiện đã cho là \( AD + BC = CD \), và vì \( KD = AD \), ta có:
\[
CD = AD + BC = KD + BC.
\]
Gọi \( KC = x \).

Ta có:
\[
KD + KC = CD \implies AD + KC = CD \implies KC = CD - AD = BC.
\]

Vậy suy ra \( KC = BC \).

**c. Chứng minh BK là tia phân giác của góc B.**

Tương tự như phần a, trong tam giác \( ABC \) với \( AB \parallel CD \), ta có được \( \angle ABC = \angle KBA \).

Theo định lý Sin cho tam giác \( BKC \) và \( ABC \):

Ta có:
\[
\frac{BK}{BC} = \frac{AB}{AC}.
\]

Và vì \( KC = BC \) (ta đã chứng minh ở phần b), nên có:
\[
\frac{BK}{BC} = \frac{AB}{x}.
\]

Từ đó, ta xác nhận rằng \( BK \) chia góc \( B \) thành hai phần bằng nhau.

Vậy \( BK \) là tia phân giác của góc \( B \).

**Kết luận:**
- \( AK \) là tia phân giác của góc \( A \).
- \( KC = BC \).
- \( BK \) là tia phân giác của góc \( B \).