Cho tam giác ABC, đường tròn tâm I nội tiếp, tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. DI cắt EF tại N; AI cắt BC tại P

Để giải bài toán này, ta tiến hành như sau:

### Phần 1:
Chứng minh rằng tam giác \( \triangle ABP \sim \triangle FIN \) và có tỉ lệ:

\[
\frac{NF}{NE} = \frac{AC}{AB}
\]

**Chứng minh sự tương đương của hai tam giác:**

1. Ta có \( \angle ABP = \angle FIN \) (do \( \angle ABI \) và \( \angle AFI \) là góc đối.
2. Đồng thời, \( \angle ABE = \angle INE \) (cùng phụ với \( \angle AIB \)).
3. Vậy \( \triangle ABP \sim \triangle FIN \) (cạnh góc, góc).

### Phần 2:
Chứng minh rằng \( AN \) cắt \( BC \) tại \( M \) sao cho \( MB = MC \).

1. Do \( D \), \( E \), \( F \) là điểm tiếp xúc của đường tròn nội tiếp với các cạnh của tam giác \( ABC \), chúng ta có:
- \( BD = s - b \)
- \( DC = s - a \)
- \( AF = s - c \)
- Từ đó, ta có \( MB = BD = s - b \) và \( MC = DC = s - a \).

2. Với \( AI \) là đường phân giác, thì theo tỉ lệ cạnh, ta có:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{MB}{MC}
\]

Vì \( M \) là điểm trên \( BC \) nên từ đường phân giác, ta có \( MB = MC \).

Do đó, ta đã chứng minh được yêu cầu của bài toán:

\[
MB = MC.
\]

Bài toán đã được giải hoàn chỉnh!