Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( m = \frac{x - 2024}{x + 2024} \), ta sẽ biến đổi biểu thức này một chút để dễ dàng phân tích.

Ta có:

\[
m = \frac{x - 2024}{x + 2024} = \frac{x + 2024 - 4048}{x + 2024} = \frac{(x + 2024) - 4048}{x + 2024} = 1 - \frac{4048}{x + 2024}
\]

Từ biểu thức trên, ta thấy rằng \( m \) lớn nhất (tối đa) khi \( \frac{4048}{x + 2024} \) là nhỏ nhất. Điều này xảy ra khi \( x + 2024 \) lớn nhất.

Vì \( x \) là số nguyên, ta sẽ xem xét các giá trị của \( x + 2024 \) như sau:

- Với \( x \to \infty \), \( m \) tiến về 1.
- Ngược lại, nếu \( x + 2024 \) nhỏ hơn hoặc bằng 4048, thì \( m \) sẽ bắt đầu giảm.

Chúng ta có thể tìm thấy giá trị tối đa của \( m \) là gần 1, và điều này xảy ra khi \( x \) trở nên lớn. Nhưng để tìm giá trị nguyên, ta cần tìm giá trị thực tế cho \( x \).

Do đó, ta sẽ thử nghiệm các giá trị số nguyên cho \( x \):

1. Khi \( x = 0 \):

\[
m = \frac{0 - 2024}{0 + 2024} = \frac{-2024}{2024} = -1
\]

2. Khi \( x = 2024 \):

\[
m = \frac{2024 - 2024}{2024 + 2024} = \frac{0}{4048} = 0
\]

3. Khi \( x = 4048 \):

\[
m = \frac{4048 - 2024}{4048 + 2024} = \frac{2024}{6072} = \frac{1}{3} \approx 0.333
\]

4. Khi \( x = 10000 \):

\[
m = \frac{10000 - 2024}{10000 + 2024} = \frac{7976}{12024} \approx 0.663
\]

Từ đó, ta có thể thấy rằng khi \( x \) tăng lên, giá trị của \( m \) có xu hướng tiến gần đến 1. Vì vậy, giá trị lớn nhất mà \( m \) có thể đạt được là 1 khi \( x \) càng lớn.

**Tóm lại:** Giá trị của \( m \) có thể đạt gần đến 1 nhưng không bao giờ đạt tới 1 vì vậy với giá trị nguyên, số nguyên lớn nhất \( m \) sẽ gần với 1.

Nếu chỉ xét số nguyên, giá trị lớn nhất cho \( x \) có thể là \( x = +\infty \) trong lý thuyết. Nhưng nếu trong giới hạn số nguyên có thể chọn, ta chọn giá trị càng lớn thì sẽ tới gần nhất với 1.