Cho tam giác ABC vuông tại A, Góc Ĉ = 30 độ. Kẻ đường trung trực của đoạn thẳng AC cắt AC tại H và cắt BC tại D. Nối A và D

Để chứng minh các phần của bài toán, trước hết ta cần xác định các tính chất của tam giác ABC vuông tại A với góc C = 30 độ.

Cho tam giác ABC vuông tại A, với góc C = 30 độ, ta có các tính chất sau:

1. **a) Chứng minh tam giác ABD đều:**

- Bởi vì tam giác ABC vuông tại A và góc C = 30 độ, thì góc B = 90 - 30 = 60 độ.
- Khi kẻ đường trung trực của đoạn AC, chúng ta có H là trung điểm của AC và D là giao điểm của đường trung trực với BC. Do đó, AD = DH.
- Do là đường trung trực, nên DH cũng bằng với HA (gốc H là trung điểm của AC).
- Vậy AD = DH = HA, do tam giác ABD là tam giác với hai cạnh AD = AH.
- Khi đó chúng ta đã có góc BAD = góc DAB = 60 độ.
- Từ hai cạnh bằng nhau và góc giữa chúng bằng 60 độ, suy ra tam giác ABD là tam giác đều.

2. **b) Chứng minh I cách đều ba đỉnh của tam giác ADC:**

- Gọi phân giác góc B cắt AD tại K, sau đó kéo dài DH để gặp nhau tại điểm I.
- Từ tính chất phân giác, ta biết rằng \( \frac{AI}{AD} = \frac{AB}{BC} \).
- Vì D nằm trên BC và BD = DC (do D là giao điểm của đường trung trực với BC), đồng thời AD cắt góc B.
- Do đó, I cách đều ba đỉnh A, D, C (AI = ID = IC).

3. **c) Gọi E, F là hình chiếu vuông góc của điểm I lên BC, BA. Chứng minh IE = IF = IK:**

- Từ điểm I, kẻ đường vuông góc đến BC và BA, ta được điểm E và F.
- Vì I cách đều 3 đỉnh A, D, C, nên chúng ta có IA = ID = IC.
- Khi đó, từ I đến BC, khoảng cách là IE; và từ I đến BA, khoảng cách là IF. Theo tính chất bình đẳng của tam giác, ta có IE = IF.
- Mà vì I là giao điểm của các đường phân giác, theo định lý phân giác, ta cũng có IK bằng khoảng cách giữa I đến AD.
- Do đó, ta suy ra IE = IF = IK.

Kết luận, mọi yêu cầu của bài toán đều được chứng minh.