Để cân bằng phương trình phản ứng hóa học:

\[ x \text{Zn} + 4y \text{HNO}_3 \rightarrow x \text{Zn(NO}_3)_2 + 2 \text{NO} + 2y \text{H}_2\text{O} \]

Chúng ta sẽ bắt đầu bằng cách phân tích số lượng nguyên tử của từng loại trong phương trình phản ứng.

### Bước 1: Lập bảng số nguyên tử

**Bên trái (thực reactants):**
- Zn: x
- H: 4y (từ 4y HNO3, mỗi phân tử HNO3 có 1 nguyên tử H)
- N: 4y (từ 4y HNO3, mỗi phân tử HNO3 có 1 nguyên tử N)
- O: 12y (từ 4y HNO3, mỗi phân tử HNO3 có 3 nguyên tử O)

**Bên phải (sản phẩm):**
- Zn: x (từ x Zn(NO3)2)
- H: 2y (từ 2y H2O, mỗi phân tử H2O có 2 nguyên tử H)
- N: 2x + 2 (từ x Zn(NO3)2, mỗi phân tử Zn(NO3)2 có 2 nguyên tử N và 2 NO, mỗi phân tử NO có 1 nguyên tử N)
- O: 6x + 2y (từ x Zn(NO3)2, mỗi Zn(NO3)2 có 6 nguyên tử O và 2y H2O có 2y * 1 = 2y nguyên tử O)

### Bước 2: Thiết lập hệ phương trình

Bây giờ, ta có thể thiết lập các phương trình cho số nguyên tử của từng nguyên tố:

1. Đối với nguyên tố Zn:
\[
x = x
\]

2. Đối với nguyên tố H:
\[
4y = 2y \implies 4y - 2y = 0 \implies 2y = 0 \implies y = 0
\]
(Tuy nhiên điều này không khả thi vì chúng ta cần H)

3. Đối với nguyên tố N:
\[
4y = 2x + 2 \tag{1}
\]

4. Đối với nguyên tố O:
\[
12y = 6x + 2y \tag{2}
\]

### Bước 3: Giải hệ phương trình

Bắt đầu từ phương trình (1):

1. Phương trình (1):
\[
4y = 2x + 2
\]
Biến đổi phương trình:
\[
4y - 2 = 2x \implies 2x = 4y - 2 \implies x = 2y - 1 \tag{3}
\]

2. Bây giờ cho phương trình (2):
\[
12y = 6x + 2y
\]
Biến đổi:
\[
12y - 2y = 6x \implies 10y = 6x \implies x = \frac{10y}{6} = \frac{5y}{3} \tag{4}
\]

### Bước 4: Giải đồng thời (3) và (4)

Giờ ta đặt (3) bằng (4):
\[
2y - 1 = \frac{5y}{3}
\]

Nhân cả hai bên với 3 để loại bỏ mẫu:
\[
3(2y - 1) = 5y
\]
\[
6y - 3 = 5y
\]
\[
6y - 5y = 3 \implies y = 3
\]

Thay y = 3 vào (3):
\[
x = 2y - 1 = 2(3) - 1 = 6 - 1 = 5
\]

### Bước 5: Kết luận

Các hệ số để cân bằng phương trình phản ứng là:
\[
x = 5, \quad y = 3
\]

### Phương trình đã cân bằng

Sau khi thay x và y vào phương trình ban đầu:
\[
5 \text{Zn} + 12 \text{HNO}_3 \rightarrow 5 \text{Zn(NO}_3)_2 + 10 \text{NO} + 6 \text{H}_2\text{O}
\]
Phương trình trên đã được cân bằng.