Cho hình thang ABCD có AB//CD và góc C và góc A.Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành.2.Cho tam giác ACD.Gọi M là trung điểm BC.Trên tia dối của tia MA lấy điểm D sao cho MD=MA.Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành3.Cho hình bình hành ABCD.Gọi

Dưới đây là các chứng minh cho các phần đã nêu.

### 1. Chứng minh rằng hình thang ABCD là hình bình hành.
Giả sử hình thang ABCD có AB // CD và góc C, góc A.

- Gọi góc C = x và góc A = y.
- Vì AB // CD, nên góc B và góc D là các góc đối trong đoạn thẳng cắt. Do đó, ta có:
- góc B = 180° - x
- góc D = 180° - y

- Trong một hình thang, tổng các góc trong là 360°, tức là:
\[
x + y + (180° - x) + (180° - y) = 360°
\]
- Điều này chứng tỏ rằng góc C + góc D = góc A + góc B, mà thực tế trong trường hợp này là hai cặp góc đối diện trong hình thang bằng nhau.

- Từ đây, ta có hai cặp góc đối diện bằng nhau, do đó theo định nghĩa, hình thang ABCD là hình bình hành.

### 2. Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành.
Gọi M là trung điểm của BC, và MD = MA.

- Ta biết M là trung điểm của BC, tức là:
- BM = MC
- Lại có MD = MA → D nằm trên tia đối của tia AM, và có độ dài đoạn MD bằng độ dài đoạn MA.

- Xét tam giác AMD, ta có M là trung điểm của BC, tức là AB = CD và:
- AD là cạnh nối giữa điểm A và điểm D.
- Khi MD = MA, ta có hai đoạn bằng nhau, và do đó, D sẽ ở vị trí sao cho:
- AM = MD và BM = MC.

- Có thể thấy rằng khi D được xác định như vậy, thì các cạnh đối diện AD và BC trở thành các cặp cạnh bằng nhau, cho thấy rằng ABCD cũng là hình bình hành.

### 3. Chứng minh rằng AMND là hình bình hành.
Cho hình bình hành ABCD với M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.

- Do M là trung điểm của AB, có:
\[
AM = MB
\]

- Do N là trung điểm của CD, có:
\[
CN = ND
\]

- Từ đó, ta có:
- AM = MB và CN = ND chứng tỏ rằng các đoạn AM và CN bằng nhau, và các đoạn MB và ND cũng bằng nhau.

- Do đó, từ tính chất của các cặp cạnh đối diện bằng nhau trong hình bình hành, ta kết luận rằng AMND là hình bình hành.

### 4. Chứng minh rằng AMCN là hình bình hành.
Gọi I là giao điểm hai đường chéo AC và BD, và M, N lần lượt là điểm mà đường thẳng D cắt cạnh AB và CD.

- Vì I là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành, có:
- AI = IC
- BI = ID

- Từ đây, chúng ta có AM và CN chia đều hai đoạn AI và IC, do đó:
\[
AM = MI
\]
\[
CN = NI
\]

- Do I là trung điểm của AC và BD, nên:
- MI = NI
- Từ các điều kiện này, ta có AM = CN và MI = NI, kết luận rằng ABCD là hình bình hành.

Các chứng minh trên cho thấy mỗi phần của bài toán đều kết thúc với việc xác nhận rằng 4 tứ giác đề cập đều là hình bình hành.