Để chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành, ta sẽ sử dụng các tính chất của hình bình hành và độ dài các đoạn thẳng trong hình bình hành ABCD.

1. **Định nghĩa và tính chất của hình bình hành**: Tứ giác là hình bình hành nếu:
- Hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau.
- Hoặc trọng tâm của hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

2. **Phân tích bài toán**:
- Ta đã biết rằng hình bình hành ABCD có các cạnh AB, BC, CD và DA.
- Hạ AH và CK vuông góc với đường chéo BD, nên có:
- \( AH \perp BD \)
- \( CK \perp BD \)

3. **Chứng minh**:
- Vì AH và CK đều vuông góc với BD, ta có hai bậc thang hợp thành hai tam giác vuông HBD và KBD.
- Từ đó suy ra \( AH = CK \) (vì chúng đều là các đoạn vuông góc từ các điểm A và C xuống BD, đoạn này sẽ có độ dài bằng nhau).
- Ngoài ra, vì BD là một đường chéo của hình bình hành ABCD, phán đoán về tính chất của tam giác tiếp theo từ việc kéo dài các đoạn.

4. **Kết luận**:
- Hai cặp cạnh AH và CK, cùng với các trọng điểm H và K cho thấy:
- \( AH \parallel CK \)
- \( AH = CK \)
- Như vậy, từ các điều trên, ta đã hoàn thành chứng minh AHCK là hình bình hành.

Tóm lại, tứ giác AHCK là hình bình hành bởi vì hai cặp cạnh AH và CK vừa song song vừa bằng nhau.