Cho hình chữ nhật ABCD có I là giao điểm 2 đường chéo; AB = 9cm; BC = 12cm. Chứng minh bốn điểm A; B; C; D cùng nằm trên một đường tròn

Để giải bài toán trên, ta sẽ thực hiện từng yêu cầu một.

### a) Chứng minh bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn.

Để chứng minh bốn điểm A, B, C, D nằm trên một đường tròn, ta sử dụng tính chất của hình chữ nhật.

1. Trong hình chữ nhật, các góc nội tiếp (góc tạo bởi các cạnh) là 90 độ.
2. Gọi \( I \) là giao điểm của hai đường chéo \( AC \) và \( BD \). Tại điểm \( I \), \( AI = IC \) và \( BI = ID \) (do tính chất của đường chéo hình chữ nhật).
3. Từ đó, ta có:
- Góc \( AIB + AID = 180^\circ \) do tổng của hai góc trong cùng một đường tròn là 180 độ.
- Tương tự, góc \( BIC + BID = 180^\circ \).

Vì vậy, bốn điểm \( A, B, C, D \) nằm trên một đường tròn (theo định lý tứ giác nội tiếp).

### b) Tìm tâm đối xứng và 2 trục đối xứng của đường tròn đó.

1. **Tâm đối xứng**: Tâm của đường tròn circumscribing bốn điểm A, B, C, D chính là trung điểm của đoạn chéo \( AC \) hay \( BD \).
- Vì \( I \) là giao điểm của hai đường chéo và cũng là tâm của đường tròn.

2. **Trục đối xứng**: Hai trục đối xứng của hình chữ nhật là:
- Trục đi qua trung điểm của \( AB \) và \( CD \).
- Trục đi qua trung điểm của \( AD \) và \( BC \).

### c) Tính bán kính đường tròn đó.

Bán kính \( R \) của đường tròn ngoại tiếp tứ giác có thể tính theo công thức:
\[ R = \frac{d}{2} \]
trong đó \( d \) là độ dài đường chéo của hình chữ nhật.

1. Độ dài đường chéo \( d \) được tính bằng công thức:
\[ d = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \text{ cm} \]

2. Do đó, bán kính \( R \) là:
\[ R = \frac{d}{2} = \frac{15}{2} = 7.5 \text{ cm} \]

### Tóm tắt:

a) Chứng minh bốn điểm A, B, C, D nằm trên một đường tròn dựa vào tính chất của hình chữ nhật.

b) Tâm đối xứng là điểm I (giao điểm hai đường chéo), và hai trục đối xứng là trục đi qua trung điểm của AB và CD, trục đi qua trung điểm của AD và BC.

c) Bán kính của đường tròn đó là \( 7.5 \text{ cm} \).