Cho tam giác vuông abc đặt ab = c, ac = b, bc = a đường cao ah = h, bh =c', ch = b'. Tính độ dài khi biết c = 3 b' = 16/5

Trong tam giác vuông \( ABC \), với \( AB = c \), \( AC = b \), \( BC = a \) và đường cao \( AH = h \), ta có một số công thức liên quan đến độ dài các cạnh và đường cao.

Ta có công thức cho đường cao \( h \) từ đỉnh của tam giác vuông:
\[
h = \frac{b \cdot c}{a}
\]
Với \( b' = CH \) và \( c' = BH \). Ngoài ra, ta có mối quan hệ giữa các đoạn \( BH \) và \( CH \) với các cạnh như sau:
\[
b' = \frac{b^2}{a} \quad \text{và} \quad c' = \frac{c^2}{a}
\]
Từ đó, ta có thể viết lại:

1. \( a = \sqrt{b^2 + c^2} \) (theo định lý Pythagore).
2. \( b' = \frac{b^2}{\sqrt{b^2 + c^2}} \)
3. \( c' = \frac{c^2}{\sqrt{b^2 + c^2}} \)

Giờ chúng ta sẽ sử dụng dữ liệu đã cho:

- \( c = 3 \)
- \( b' = \frac{16}{5} \)

Bắt đầu từ \( b' \):
\[
b' = \frac{b^2}{\sqrt{b^2 + c^2}} = \frac{b^2}{\sqrt{b^2 + 3^2}} = \frac{b^2}{\sqrt{b^2 + 9}}
\]
Thay giá trị \( b' \) vào:
\[
\frac{16}{5} = \frac{b^2}{\sqrt{b^2 + 9}}
\]

Bình phương hai vế:
\[
\left(\frac{16}{5}\right)^2 = \frac{b^4}{b^2 + 9}
\]
\[
\frac{256}{25} = \frac{b^4}{b^2 + 9}
\]
Sau đó nhân chéo:
\[
256(b^2 + 9) = 25b^4
\]
\[
256b^2 + 2304 = 25b^4
\]
Sắp xếp lại:
\[
25b^4 - 256b^2 - 2304 = 0
\]

Đặt \( x = b^2 \), phương trình trở thành:
\[
25x^2 - 256x - 2304 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm:
\[
x = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A} = \frac{256 \pm \sqrt{(-256)^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-2304)}}{2 \cdot 25}
\]
\[
x = \frac{256 \pm \sqrt{65536 + 230400}}{50}
\]
\[
x = \frac{256 \pm \sqrt{295936}}{50}
\]
\[
x = \frac{256 \pm 544}{50}
\]

Nghiệm dương:
\[
x_1 = \frac{800}{50} = 16 \quad \text{(chọn nghiệm dương)}
\]

Vậy \( b^2 = 16 \Rightarrow b = 4 \).

Cuối cùng, tính độ dài \( a \) và \( h \):
\[
a = \sqrt{b^2 + c^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
\]
\[
h = \frac{b \cdot c}{a} = \frac{4 \cdot 3}{5} = \frac{12}{5}
\]

Vậy các giá trị cần tìm là:
- \( b = 4 \)
- \( a = 5 \)
- \( h = \frac{12}{5} \)