Để giải bài toán, ta sẽ thực hiện từng phần một:

**a) Rút gọn biểu thức M:**
\[
M = \frac{a \cdot \sqrt{n - b^2}}{( \sqrt{n} - b )} \left( 1 + \frac{b}{\sqrt{a - b}} \right)
\]

Để rút gọn M, ta có thể làm hạng tử trong ngoặc thành một mẫu chung và tính toán. Ta có:

1. Tính \( 1 + \frac{b}{\sqrt{a - b}} = \frac{\sqrt{a - b} + b}{\sqrt{a - b}} \).

Sau đó, nhân vào biểu thức bên ngoài và đơn giản hóa.

**b) Tính giá trị của M nếu \( \frac{a}{b} = \frac{3}{2} \):**
- Ta chuyển \( a = \frac{3}{2}b \) vào trong M.

Thay giá trị \( a \) vào M và tính giá trị cụ thể.

**c) Tìm điều kiện của a, b để M < 1:**
- Ta sẽ lập bất phương trình từ biểu thức M và giải bất phương trình đó để tìm điều kiện cho a và b.

Lưu ý rằng trong quá trình điều kiện, cần khảo sát các giá trị của b để không xảy ra chia cho 0, cũng như các phương trình chứa căn bậc hai để đảm bảo đủ điều kiện số thực.

Bạn có thể làm từng bước theo hướng dẫn trên để giải bài toán một cách chi tiết hơn!