Để giải hệ phương trình đã cho, ta ký hiệu:

\[
y_1 = \frac{1}{\sqrt{x - 7}} \quad \text{và} \quad y_2 = \frac{1}{\sqrt{x + 6}}
\]

Hệ phương trình trở thành:

\[
\begin{cases}
7y_1 - 4y_2 = \frac{5}{3} \\
5y_1 + 3y_2 = \frac{13}{6}
\end{cases}
\]

### Bước 1: Giải phương trình đầu tiên

Từ phương trình đầu tiên:

\[
7y_1 - 4y_2 = \frac{5}{3}
\]

Ta có thể biểu diễn \(y_2\) theo \(y_1\):

\[
4y_2 = 7y_1 - \frac{5}{3} \implies y_2 = \frac{7y_1 - \frac{5}{3}}{4}
\]

### Bước 2: Thay vào phương trình thứ hai

Thay giá trị của \(y_2\) vào phương trình thứ hai:

\[
5y_1 + 3\left(\frac{7y_1 - \frac{5}{3}}{4}\right) = \frac{13}{6}
\]

Giải phương trình này:

\[
5y_1 + \frac{21y_1 - 5}{4} = \frac{13}{6}
\]

Nhân toàn bộ phương trình với 12 (bội số chung nhỏ nhất của 4 và 6):

\[
12 \cdot 5y_1 + 12 \cdot \frac{21y_1 - 5}{4} = 12 \cdot \frac{13}{6}
\]

Suy ra:

\[
60y_1 + 3(21y_1 - 5) = 26
\]

Giải:

\[
60y_1 + 63y_1 - 15 = 26
\]
\[
123y_1 = 41 \implies y_1 = \frac{41}{123}
\]

### Bước 3: Tính \(y_2\)

Thay \(y_1\) vào công thức tìm \(y_2\):

\[
y_2 = \frac{7y_1 - \frac{5}{3}}{4}
\]

Tính \(7y_1\):

\[
7y_1 = 7 \cdot \frac{41}{123} = \frac{287}{123}
\]

Tiến hành:

\[
y_2 = \frac{\frac{287}{123} - \frac{5}{3}}{4}
\]

Biểu diễn \(\frac{5}{3}\) trong mẫu số 123:

\[
\frac{5}{3} = \frac{205}{123}
\]

Kết quả \(y_2\):

\[
y_2 = \frac{\frac{287 - 205}{123}}{4} = \frac{\frac{82}{123}}{4} = \frac{82}{492} = \frac{41}{246}
\]

### Bước 4: Tìm \(x\)

Ta có:

\[
y_1 = \frac{1}{\sqrt{x - 7}} \quad \text{và} \quad y_2 = \frac{1}{\sqrt{x + 6}}
\]

Do đó, ta có:

\[
\sqrt{x - 7} = \frac{123}{41} \quad \text{và} \quad \sqrt{x + 6} = \frac{246}{41}
\]

Bình phương cả hai phương trình:

1. \(\sqrt{x - 7} = \frac{123}{41} \Rightarrow x - 7 = \left(\frac{123}{41}\right)^2 \Rightarrow x = \frac{123^2}{41^2} + 7\)
2. \(\sqrt{x + 6} = \frac{246}{41} \Rightarrow x + 6 = \left(\frac{246}{41}\right)^2 \Rightarrow x = \frac{246^2}{41^2} - 6\)

Tính giá trị của \(x\) từ hai phương trình và đối chiếu kết quả.

### Kết luận

Giá trị cụ thể của \(x\) sẽ là phần chính để giải đúng trọn vẹn hệ phương trình.