Ta cần tính tổng sau:

\[
S = \frac{2}{3 \cdot 5} + \frac{2}{5 \cdot 7} + \frac{2}{7 \cdot 9} + \ldots + \frac{2}{19 \cdot 21}
\]

Dễ dàng nhận thấy rằng các mẫu số trong từng phần tử là tích của hai số lẻ liên tiếp. Cụ thể, phần tử thứ \( n \) trong tổng sẽ có dạng:

\[
\frac{2}{(2n + 1)(2n + 3)}
\]

với \( n \) chạy từ 1 đến 9 (khi \( n = 1 \) thì số hạng đầu tiên là \( 3 \) và khi \( n = 9 \) thì số hạng cuối cùng là \( 19 \)).

Ta có thể sử dụng phân tích thành phần nguyên để đơn giản hóa từng phần tử, cụ thể:

\[
\frac{2}{(2n + 1)(2n + 3)} = \frac{A}{2n + 1} + \frac{B}{2n + 3}
\]

Nhân hai vế với \( (2n + 1)(2n + 3) \):

\[
2 = A(2n + 3) + B(2n + 1)
\]

Mở ra và nhóm lại:

\[
2 = (2A + 2B)n + (3A + B)
\]

Từ đó, hệ phương trình ta có là:

\[
\begin{cases}
2A + 2B = 0 \\
3A + B = 2
\end{cases}
\]

Giải hệ trên:

Từ phương trình đầu tiên, ta có \( A + B = 0 \) hay \( B = -A \).

Thay vào phương trình thứ hai:

\[
3A - A = 2 \implies 2A = 2 \implies A = 1
\]

Do đó, \( B = -1 \).

Vậy ta có:

\[
\frac{2}{(2n + 1)(2n + 3)} = \frac{1}{2n + 1} - \frac{1}{2n + 3}
\]

Từ đó, tổng \( S \) trở thành:

\[
S = \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{9} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{19} - \frac{1}{21} \right)
\]

Nhìn vào tổng trên, ta thấy đây là một chuỗi đối kháng (telescoping series):

Kết quả cuối cùng là:

\[
S = \frac{1}{3} - \frac{1}{21}
\]

Tính giá trị:

\[
S = \frac{1}{3} - \frac{1}{21} = \frac{7}{21} - \frac{1}{21} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}
\]

Vậy tổng \( S \) là:

\[
\boxed{\frac{2}{7}}
\]