Tính giá trị của biểu thức P

Để tính giá trị của biểu thức \( P \), chúng ta có

\[
P = \frac{\sin^3 \alpha + 2\sin \alpha \cos^2 \alpha}{\cot \alpha \sin^3 \alpha - 2\cos \alpha}
\]

Biết rằng \( \tan \alpha = 2 \), từ đó ta suy ra:

\[
\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{2}
\]

Từ đây chúng ta có thể tính \( \sin \alpha \) và \( \cos \alpha \) theo mối quan hệ giữa chúng với \( \tan \alpha \):

\[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = 2 \implies \sin \alpha = 2 \cos \alpha
\]

Sử dụng đơn vị lượng giác \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \):

\[
(2\cos \alpha)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \implies 4\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \implies 5\cos^2 \alpha = 1 \implies \cos^2 \alpha = \frac{1}{5}
\]

Suy ra \( \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} \) và \( \sin \alpha = 2\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}} \).

Bây giờ, thay vào biểu thức \( P \):

1. Tính \( \sin^3 \alpha \):

\[
\sin^3 \alpha = \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^3 = \frac{8}{5\sqrt{5}}
\]

2. Tính \( \cos^2 \alpha \):

\[
\cos^2 \alpha = \frac{1}{5}
\]

3. Tính \( 2\sin \alpha \cos^2 \alpha \):

\[
2\sin \alpha \cos^2 \alpha = 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{1}{5} = \frac{4}{5\sqrt{5}}
\]

4. Cộng \( \sin^3 \alpha \) với \( 2\sin \alpha \cos^2 \alpha \):

\[
\sin^3 \alpha + 2\sin \alpha \cos^2 \alpha = \frac{8}{5\sqrt{5}} + \frac{4}{5\sqrt{5}} = \frac{12}{5\sqrt{5}}
\]

5. Tính \( \cot \alpha \sin^3 \alpha \):

\[
\cot \alpha \sin^3 \alpha = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{5\sqrt{5}} = \frac{4}{5\sqrt{5}}
\]

6. Cuối cùng, tính \( P \):

\[
P = \frac{\frac{12}{5\sqrt{5}}}{\frac{4}{5\sqrt{5}} - 2\cos \alpha} = \frac{\frac{12}{5\sqrt{5}}}{\frac{4}{5\sqrt{5}} - 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}}
\]

Tính \( 2\cos \alpha \):

\[
2\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{10}{5\sqrt{5}}
\]

Tính mẫu số:

\[
\frac{4}{5\sqrt{5}} - \frac{10}{5\sqrt{5}} = -\frac{6}{5\sqrt{5}}
\]

Thay vào biểu thức \( P \):

\[
P = \frac{\frac{12}{5\sqrt{5}}}{-\frac{6}{5\sqrt{5}}} = -\frac{12}{6} = -2
\]

Vậy giá trị của biểu thức \( P \) là:

\[
\boxed{-2}
\]