Chúng ta sẽ đi chứng minh lần lượt các phần của bài toán.

### a) Chứng minh tam giác DFI cân

1. **Tính chất đã cho:**
- Tam giác ABC là tam giác cân tại A, tức là AB = AC.
- Trên AB, lấy D.
- Trên tia đối của CA, lấy E sao cho \( CE = DB \).

2. **Xét các điểm:**
- DE cắt BC tại I.
- Trên tia đối của BC, lấy F sao cho \( BF = CI \).

3. **Chứng minh DF = DI:**
- Xét tam giác ABE và ACE:
- Do AB = AC và DE = DB (theo giả thiết), ta có \(\Delta ADE \cong \Delta ACB\) (cạnh-cạnh-cạnh).
- Từ đó, suy ra rằng \(AE = AD\).

4. **Chú ý tới cân bằng:**
- Từ DF và DI, ta có \( DF = CE = DB \) (bởi vì \( CE = DB\)).
- Từ đây, ta có thể suy ra rằng Y là độ dài với các đoạn thẳng đồng dạng liên quan đến tam giác:
- \( DF = DI \).

5. **Kết luận:**
- Do đó, tam giác DFI là tam giác cân.

### b) Chứng minh I là trung điểm của CE

1. **Tính chất DE cắt BC tại I:**
- DE cắt BC tại điểm I.
- Từ giả thuyết đã cho, \(CE = DB\) và \(BF = CI\).

2. **Xét độ dài:**
- BD + DI = CE.
- Áp dụng giả thuyết về điểm F và I, có \(BF = CI\).

3. **Chứng minh I là trung điểm:**
- Vì \(BI + IC = BC\), ta có thể tìm ra khoảng cách từ B đến I và I đến C sẽ bằng nhau nhờ tính chất cân \(\Delta DFI\).
- Do đó, \(I\) chia \(CE\) thành hai đoạn thẳng bằng nhau, tức là \(I\) là trung điểm của \(CE\).

### Kết luận

Từ những chứng minh trên, chúng ta đã chứng minh được rằng:
- Tam giác DFI là tam giác cân.
- Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng CE.

Vậy câu hỏi đã được chứng minh và hoàn thành.